广东省阳江市雅韶韶丰中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义运算,则函数的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
.
作出函数图象:
故选B.
2. 已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线,,则△ABC的面积S为( )
A. 3 B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据三个内角,,依次成等差数列求得角的大小,利用余弦定理求得,进而求得的值,由此求得三角形的面积.
【详解】由于的三个内角,,依次成等差数列,即,由于,故.设在三角形中,由余弦定理得,解得 故,所以三角形的面积为,故选D.
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查等差中项的性质,考查三角形内角和定理,属于基础题.
3. 已知函数,,则的最小值是( )
A . 1 B. C. D.
参考答案:
B
4. 已知函数是定义在R上的奇函数,若对于任意给定
的不等实数、,不等式恒成立,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
是奇函数,即其的图象关于点对称,将向右平移1个单位长度,得,的图象关于点对称,由恒成立,知或,为R上的减函数;将的图象关于x由对称得,再向左平移1个单位长度,得,由图象易得不等式的解集为.选B.
5. 不等式≤0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2) B.[﹣1,2]
C.(﹣∞,﹣1)∪[2,+∞) D.(﹣1,2]
参考答案:
D
【考点】其他不等式的解法.
【分析】将“不等式≤0”转化为“不等式组”,有一元二次不等式的解法求解.
【解答】解:依题意,不等式化为,
解得﹣1<x≤2,
故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法,关键是将不等式转化为特定的不等式去解.
6. 已知命题,则命题p的否定为
A. B.
C. D.
参考答案:
C
全称命题的否定为特称命题,则命题:,的否定为, .
本题选择C选项.
7. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
8. 已知,则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
由可得,故,据此逐一考查所给的选项是否正确即可.
【详解】由可得,故,逐一考查所给的选项:
A.;
B.,的符号不能确定;
C.;
D
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质,不等式的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9. 已知函数的定义域为R,则实数k的取值范围是 -( )
A. B. C . D .
参考答案:
C
略
10. 已知△ABC的面积为1,设是△内的一点(不在边界上),定义,其中分别表示△,△,△的面积,若,则的最小值为( )
A.8 B.9 C.16 D.18
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若角A、B、C成等差数列,且边a、b、c成等比数列,则△ABC的形状为 .
参考答案:
等边三角形
【考点】正弦定理.
【分析】由等差数列和三角形内角和可得B=,再由等比数列和余弦定理可得a=c,可得等边三角形.
【解答】解:∵在△ABC中角A、B、C成等差数列,
∴2B=A+C,由三角形内角和可得B=,
又∵边a、b、c成等比数列,∴b2=ac
由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB,
∴ac=a2+c2﹣ac,即a2+c2﹣2ac=0,
故(a﹣c)2=0,可得a=c,
故三角形为:等边三角形,
故答案为:等边三角形.
12. 计算的结果是 .
参考答案:
2
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【分析】利用指数幂的运算法则、对数的运算法则和换底公式即可得出.
【解答】解:运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2.
故答案为2.
13. (5分)若点P(﹣sinα,cosα)在角β的终边上,则β= (用α表示).
参考答案:
考点: 任意角的三角函数的定义.
专题: 三角函数的求值.
分析: 根据角的终边之间的关系即可求得结论.
解答: ∵﹣sinα=sin(﹣α)=cos()=cos(2kπ+)
cosα=sin()=sin(2kπ+)
故点P(﹣sinα,cosα)为点P(cos(2kπ+),sin(2kπ+)).
由点P(﹣sinα,cosα)在角β终边上,
∴.
故答案为:.
点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,以及三角函数的诱导公式的应用,比较基础.
(5分)已知偶函数f(x)对任意x∈R满足f(2+x)=f(2﹣x),且当﹣2≤x≤0时,f(x)=log2(1﹣x),则f的值为 .
【答案】1
【解析】
考点: 抽象函数及其应用.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 依题意,可知f(x+4)=f(﹣x)=f(x)?函数f(x)是周期为4的函数,于是可求得f的值.
解答: ∵f(2+x)=f(2﹣x),即f(x)=f(4﹣x),
∴其图象关于直线x=2对称,
又函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,
∴f(x+4)=f(﹣x)=f(x),
∴函数f(x)是周期为4的函数,
又当﹣2≤x≤0时,f(x)=log2(1﹣x),
∴f=f(503×4+1)=f(1)=f(﹣1)=1,
故答案为:1.
点评: 本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的周期性、奇偶性与对称性,属于中档题.
(5分)定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段PP2的长为 .
【答案】
【解析】
考点: 余弦函数的图象;正切函数的图象.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 先将求P1P2的长转化为求sinx的值,再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值,从而得到答案.
解答: 线段P1P2的长即为sinx的值,
且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=.线段P1P2的长为,
故答案为:.
点评: 本题主要考查考查三角函数的图象、体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题.
(5分)若关于x的方程2cos2x﹣sinx+a=0有实根,则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】
考点: 同角三角函数间的基本关系.
专题: 三角函数的求值.
分析: 根据已知方程表示出a,利用同角三角函数间的基本关系变形,利用二次函数的性质及正弦函数的值域求出a的最大值与最小值,即可确定出a的范围.
解答: 已知方程变形得:2﹣2sin2x﹣sinx+a=0,
即a=2sin2x+sinx﹣2=2(sinx+)2﹣,
∵﹣1≤sinx≤1,
∴当sinx=﹣时,a取得最小值﹣;
当sinx=1时,a取得最大值1,
则a的取值范围是[﹣,1].
故答案为:[﹣,1].
点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
14. 函数的定义域是_______________。
参考答案:
略
15. 函数y =的值域是 。
参考答案:
[ 0,1 ]
16. 函数的增区间是 .
参考答案:
略
17. 在△ABC中,已知2sinA=3sinC,b﹣c=a,则cosA的值为 .
参考答案:
【考点】HR:余弦定理.
【分析】在△ABC中,2sinA=3sinC,由正弦定理可得:2a=3c,a=.由b﹣c=a,可得b==a.再利用余弦定理即可得出.
【解答】解:在△ABC中,2sinA=3sinC,由正弦定理可得:2a=3c,∴a=.
∵b﹣c=a,∴b=c+=.因此a=b.
则cosA===.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知tan α=2,求下列代数式的值.
(1);
(2)sin2α+sinαcosα+cos2α.
参考答案:
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系,求得所给式子的值.
(2)把要求的式子的分母看成1,再利用同角三角函数的基本关系化为关于正切tanα的式子,从而求得它的值.
【解答】解:(1)==.
(2)sin2α+sin αcos α+cos2α===.
18.在某次期末考试中,从高一年级中抽取60名学生的数学成绩(均为整数)分段为[90,100),[100,110),…,[140,150]后,部分频率分布直方图如图,观察图形,回答下列问题:
(1)求分数在[120,130)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试中全年级数学成绩的平均分.
【答案】
【解析】
【考点】B8:频率分布直方图.
【分析】(1)先求出分数在[120,130)内的频率,由此能补全这个频率分布直方图
(2)由频率分布直方图能求出平均分的估计值.
【解答】解:(1)分数在[120,130)内的频率为:
1﹣(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1﹣0.7=0.3,
=,
补全这个频率分布直方图如右图.
(2)由频率分布直方图得:
平均分的估计值为:
95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05
=121.
19. 销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元,它们与投入资金x万元的关系分别为,y2=bx,(其中m,a,b都为常数),函数y1,y2对应的曲线C1、C2如图所示.
(1)求函数y1、y2的解析式;
(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.
参考答案:
解:(1)由题意,解得,
又由题意得(x≥0)
(2)设销售甲商品投入资金x万元,则乙投入(4﹣x)万元
由(1)得,(0≤x≤4)
令,则有=,,
当t=2即x=3时,y取最大值1.
答:该商场所获利润的最大值为1万元
略
20. 一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是多少?
参考答案:
考点: 等可能事件的概率.
专题: 计算题.
分析: 本题是一个等可能事件的概率,一年以365天计算,两个人可能的出生日期有365个数,那么共有365×365种情况,满足条件的事件是出生在同一天的共有365种情况,根据等可能事件的概率得到结果.
解答: 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,
一年以365天计算,两个人可能的出生日期有365个数,那么共有365×365种情况,
满足条件的事件是出生在同一天的共有365种情况
∴他们生日相同的概率是 =.
即两名学生