安徽省合肥市海恒中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在中,若,,则的形状为…………………( ▲ )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
参考答案:
C
略
2. 不存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有( )
A.f(|x+1|)=x2+2x B.f(cos2x)=cosx C.f(sinx)=cos2x D.f(cosx)=cos2x
参考答案:
B
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】若f(cos2x)=cosx,则有f(1)=1且f(1)=﹣1,根据函数的定义,可得结论.
【解答】解:若f(|x+1|)=x2+2x=(x+1)2﹣1,
则f(x)=x2﹣1,x≥1,故存在函数f(x),使A成立;
若f(sinx)=cos2x=1﹣2sin2x,
则f(x)=1﹣2x2,﹣1≤x≤1,故存在函数f(x),使C成立;
若f(cosx)=cos2x=2cos2x﹣1,
则f(x)=2x2﹣1,﹣1≤x≤1,故存在函数f(x),使D 成立;
当x=0时,f(cos2x)=cosx可化为:f(1)=1,
当x=π时,f(cos2x)=cosx可化为:f(1)=﹣1,
这与函数定义域,每一个自变量都有唯一的函数值与其对应矛盾,
故不存在函数f(x)对任意x∈R都有f(cos2x)=cosx,
故选:B.
3. 下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
4. 等于
( A) sina (B) cosa
(C) -sina (D) -cosa
参考答案:
C
5. (5分)若将函数f(x)=2sin(3x+φ)图象向右平移个单位后得到的图象关于点(,0)对称,当|φ|取最小值时,函数f(x)在上的最大值是()
A. 1 B. C. D. 2
参考答案:
D
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: 先求将函数平移个单位后得到函数解析式为g(x)=2sin(3x﹣+φ),可得+φ=kπ(k∈Z),求得φ=﹣,即有解析式f(x)=2sin(x﹣),从而可求最大值.
解答: 将函数f(x)=2sin(3x+φ)图象向右平移个单位后得到函数g(x)=2sin(3x﹣+φ)的图象,
依题意知+φ=kπ(k∈Z),
∴φ=kπ﹣(k∈Z),只有当k=0,即φ=﹣时,|φ|min=,
∴f(x)=2sin(x﹣),
∵x∈,
∴x﹣∈,
∴f(x)max=2.
故选:D.
点评: 本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的图象与性质,三角函数的最值,属于中档题.
6. 调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是680,则平均每天做作业的时间在0~60分钟内的学生的频率是] ( )
A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32
参考答案:
C
7. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )
参考答案:
D
8. 已知图①中的图象对应的函数y=f(x),则图②中的图象对应的函数是( )
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(﹣|x|) D.y=﹣f(|x|)
参考答案:
C
【考点】函数的图象与图象变化;函数的定义域及其求法;函数解析式的求解及常用方法.
【分析】由题意可知,图②中的函数是偶函数,与图①对照,它们位于y轴左侧的部分相同,右侧不一样,说明当x<0时对应法则相同而x>0时对应法则不同,再结合排除法分析选项可得正确答案.
【解答】解:设所求函数为g(x),
g(x)==f(﹣|x|),C选项符合题意.
故选C
9. 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
参考答案:
A
10. 设实数,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线x+y+1=0的倾斜角是 .
参考答案:
135°
【考点】直线的一般式方程.
【专题】直线与圆.
【分析】先求出直线的斜率,再求直线的倾斜角.
【解答】解:直线x+y+1=0的斜率k=﹣1,
∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°.
故答案为:135°.
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法,是基础题,解题时要注意直线的斜率的灵活运用.
12. 求值: ___________.
参考答案:
13. 从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满;这样倒了n次,则容器中有纯酒精_________升.
参考答案:
略
14. 已知集合A={x|ax-2=0},集合B={x|x2-3x+2=0},且A?B,则实数a的值组成的集合
C= 。
参考答案:
{0,1,2}
15. 已知扇形的圆心角为,半径为5cm,则扇形的面积为 .
参考答案:
16. 已知关于x的x2﹣2ax+a+2=0的两个实数根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
【考点】函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】构造函数f(x)=x2﹣2ax+a+2,根据根与系数之间的关系建立不等式关系即可得到结论.
【解答】解:设f(x)=x2﹣2ax+a+2,
∵1<α<2<β<3,
∴,即,
即,即2<a<,
故答案为:
【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据根与系数之间,转化为函数是解决本题的关键.
17. 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图1中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作,第2个五角形数记作,第3个五角形数记作,第4个五角形数记作,……,若按此规律继续下去,则 ,若,则 .
参考答案:
35 ,10
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知角的终边在直线上,求角的正弦、余弦和正切值.
参考答案:
解:设角终边上任一点(),则,,.
当时,,是第一象限角,
,,;
当时,,是第三象限角,
,,.
综上,角的正弦、余弦和正切值分别为,,或,,.
略
19. (本小题满分12分)在锐角三角形△中,分别是角所对的边,且.
(1)求角的大小;
(2)若,的面积为,求的值.
参考答案:
解(1)由正弦定理得
是锐角三角形,故 ……………………6分
(2)
将代入得到
则,即 ……………………12分
略
20. 2014年11月12日,科幻巨片《星际穿越》上映,上映至今,全球累计票房高达6亿美金.为了解绵阳观众的满意度,某影院随机调查了本市观看此影片的观众,并用“10分制”对满意度进行评分,分数越高满意度越高,若分数不低于9分,则称该观众为“满意观众”.现从调查人群中随机抽取12名.如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶).
(1)求从这12人中随机选取1人,该人不是“满意观众”的概率;
(2)从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人,求这2人得分不同的概率.
参考答案:
【考点】BA:茎叶图;CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(1)由茎叶图可知从12人中任抽一人,其中低于9的有4人,由古典概型概率公式可求;
(2)利用列举法分别列出从中任意选取两人的可能有 以及分数不同的人数,由古典概型的公式可求.
【解答】解:(1)由茎叶图可知,所抽取12人中有4人低于9分,即有4人不是“满意观众”,
∴P=,
即从这12人中随机选取1人,该人不是“满意观众”的概率为.
(2)设本次符合条件的满意观众分别为A1(9.2),A2(9.2),A3(9.2),A4(9.2),B1(9.3),
B2(9.3),其中括号内为该人的分数.
则从中任意选取两人的可能有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),
(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),
(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),
(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,
其中,分数不同的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),
(A4,B1),(A4,B2),共8种,
∴所求的概率为.
21.
若,,,求。
参考答案:
解析,由,可得或,解得或5。
当时,,,集合B中元素违反互异性,故舍去。
当时,,,满足题意,此时。
当时,,,此时,这与矛盾,故舍去。
综上知。
22. (12分) 已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1) 求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数,且在定义域上单调递减,求不等式g(x)≦0的解集
参考答案: