江苏省连云港市桃林中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<x,
且f(2)=1,则不等式f(x)<x2﹣1的解集为( )
A.(﹣2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞)
参考答案:
D
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【专题】转化思想;构造法;导数的综合应用.
【分析】根据条件构造函数g(x)=f(x)﹣(x2﹣1),求出函数g(x)的导数,利用导数和单调性之间的关系即可求出解集.
【解答】解:设g(x)=f(x)﹣(x2﹣1),
则函数的导数g′(x)=f′(x)﹣x,
∵f′(x)<x,
∴g′(x)=f′(x)﹣x<0,
即函数g(x)为减函数,
且g(2)=f(2)﹣(×4﹣1)=1﹣1=0,
即不等式f(x)<x2﹣1等价为g(x)<0,
即等价为g(x)<g(2),
解得x>2,
故不等式的解集为{x|x>2}.
故选:D.
【点评】本题主要考查了不等式的求解以及构造函数,利用导数研究函数的单调性问题,是综合性题目.
3. 函数f(x)=的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.
【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;
又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,
当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,
故选A.
【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象,其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性,再研究某些特殊值.
4. 已知函数与直线相交,若在轴右侧的交点自左向右依次记为,,,……,则等于( )
参考答案:
C
5. 已知点,抛物线的焦点是,若抛物线上存在一点,使得最小,则点的坐标为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
6. 已知,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知,则的值为
A.-3 B. 3 C. -3或3 D. -1或3
参考答案:
D
8. 已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线上,则( )
参考答案:
B
略
9. 曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=5.设点P,Q分别在曲线C1和C2上运动,则|PQ|的最小值为( )
A.
B.
2
C.
3
D.
4
参考答案:
A
10. 函数的图象大致形状是
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,是的中点,,点在上且满足,则的值为
参考答案:
略
12. 计算_____________________.
参考答案:
-20
13. 已知函数,给定条件:,条件:
,若是的充分条件,则实数的取值范围为 ▲ .
参考答案:
14. 设P是函数y=x+(x>0)的图象上任意一点,过点P分别向直线y=x和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则的值是 .
参考答案:
﹣1
考点:
平面向量数量积的运算.
专题:
平面向量及应用.
分析:
设P(x0,)(x0>0),可得|PA|,|PB|,由O、A、P、B四点共圆,可得∠APB=,由数量积定义可求.
解答:
解:设P(x0,)(x0>0),则点P到直线y=x和y轴的距离分别为
|PA|==,|PB|=x0.
∵O、A、P、B四点共圆,所以∠APB=π﹣∠AOB=
∴==﹣1
故答案为:﹣1
点评:
本题考查平面向量数量积的运算,涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质,属中档题.
15. 已知sin-3cos=0,则 。
参考答案:
略
16. 函数f(x)=sin2x﹣2sin2x的最大值为 .
参考答案:
2﹣
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】利用三角恒等变形公式,函数f(x)=2sin(2x+)﹣.
【解答】解:函数f(x)=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣2×=sin2x+=2sin(2x+)﹣.
故答案为:2﹣.
17. 已知直线L经过定点A(4,1),在x轴,y轴上的截距分别为a,b,且a,b都大于零,则a+b的最小值为_________________.
参考答案:
9
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)已知为实数,数列满足,当时,
(1)当时,求数列的前100项的和;
(2)证明:对于数列,一定存在,使;
(3)令,当时,求证:
参考答案:
解:(1)当时,由题意知数列的前34项成首项为100,公差为-3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,
从而 ………………(3分)
.………………(5分)
(2)证明:①若则题意成立…………………(6分)
②若此时数列的前若干项满足,即.
设,则当时,,从而此时命题成立……(8分)
③若,由题意得,则有②的结论知此时命题也成立.
综上所述,原命题成立……………(9分)
(3)当时,因为
所以 ……(10分)
因为,所以只要证明当时不等式成立即可.
而、
…………………………(12分)
①当时,
…(13分)
②当由于,所以
综上所述:原不等式成立………………………(14分)
19. (本题满分13分)已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被轴截得的弦长为,圆C的面积小于13.
(Ⅰ)求圆C的标准方程;
(Ⅱ)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.
参考答案:
(I)设圆C:(x-a)2+y2=R2(a>0),由题意知
解得a=1 或 a=, ……………………………………… 3分
又∵ S=πR2<13,
∴ a=1,
∴ 圆C的标准方程为:(x-1)2+y2=4. …………………………………… 6分
(Ⅱ)当斜率不存在时,直线l为:x=0不满足题意.
当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
又∵ l与圆C相交于不同的两点,
联立消去y得:(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, …………………9分
∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0,
解得或.
x1+x2=,y1+ y2=k(x1+x2)+6=,
,,
假设∥,则,
∴ ,
解得,假设不成立.
∴ 不存在这样的直线l. ……………………………………………………13分
20. (本小题满分10分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c = asinC-ccosA
(1) 求A
(2) 若a=2,△ABC的面积为,求b,c
参考答案:
21. 已知函数.
(1)解不等式;
(2),使成立,求的取值范围.
参考答案:
(1)当即时,,∴,
当即时,,∴,
∴不等式的解集为;
(2)∵,∴,
∵,使不等式成立,∴大于的最小值,
∴.
22. 已知函数
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求证:
参考答案:
(1)时,在上是增函数,时,在和上是增函数,在上是减函数
(2)证明见解析
【分析】
(1)对求导,得到,根据的,对进行分类,分为,和;(2)令,先说明当时,不符合题意,再研究当时,利用导数得到最大值,根据有两个零点,得到,易得,再利用导数证明时,,从而确定范围为,再构造函数,利用导数得到在上单调递减,从而得以证明.
【详解】(1)易知的定义域为,且,
时,在上恒正,所以在上单调递增,
时,对于,
①当,即时,,在上是增函数;
②当,即时,有两个正根,
所以,,单调递增,
,,单调递减
综上,时,在上是增函数,时,在和上是增函数,在上是减函数
(2)令,
方程有两个不相等的实根函数有两个零点,
由
定义域为且
①当时,恒成立,在上单调递增,则至多有一个零点,不符合题意;
②当时,得,
在上单调递增,在上单调递减
要使有两个零点,则,由解得
此时
易知当时,
,
令,所以,
时,在为增函数,
在增函数,,
所以,即
所以
函数在与各存在一个零点
综上所述,.
∴证明证明时,成立
设,则
易知在上递减,,在上单调递减
,
所以.
【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性,利用导数求函数的极值、最值,函数与方程,零点存在定理,属于难题.