吉林省长春市第十三中学2022年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
设集合M={0,1},N={11-a,lga,2a,a},以下对“是否
存在实数a,使M∩N={1}”的判断正确的是 ( )
A.存在,且有四个值
B.存在,且有两个值
C.存在,且只有一个值
D.不存在
参考答案:
答案:D
2. 设等差数列满足:
,公差. 若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b, c,若,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
参考答案:
D
略
5. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
考点:算法与程序框图.
6. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=xsinx C.f(x)=D.f(x)=﹣x|x|
参考答案:
D
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可.
【解答】解:A中f(x)非奇非偶;
B中f(x)是偶函数;
C中f(x)在(﹣∞,0)、(0,+∞)分别是减函数,但在定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数;
D中f(x)=是奇函数且在R上是减函数.
故选:D.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.
7. 一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中△ABC是边长为2的正三角形,俯视图的边界为正六边形,那么该几何体的侧(左) 视图的面积为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
8. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高条形图:根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是
A.药物B的预防效果优于药物的预防效果
B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
D.药物A、B对该疾病均没有预防效果
参考答案:
B
9. 命题“对任意R,都有”的否定是
A.存在R,使得 B.不存在R,使得
C.存在R,使得 D.对任意R,都有
参考答案:
C
10. 已知p:为第二象限角,q:,则p是q成立的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图放置的正方形,,分别在轴的正半轴上(含坐标原点)且,则的值是 .
参考答案:
12. 如果执行上面的框图,输入,则输出的数S= .
参考答案:
13. .某校选修篮球课程的学生中,高一学生有名,高二学生有名,现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本,已知在高一学生中抽取了人,则在高二学生中应抽取__________人.
参考答案:
8
14. 记不等式组所表示的平面区域为,若直线与公共点,则的取值范围是 .
参考答案:
:不等式组表示的平面区域如图为三角形ABC区域,其中A、B坐标分别为(1,1),(0,4),实数a为区域内的点与点(-1,0)连线的直线的斜率,显然经过点A时斜率最小为,经过点B时斜率最大为4,所以实数a的范围是
15. 已知函数的定义域为,若对任意,都有,则实数c的取值范围是 .
参考答案:
16. 曲线在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .
参考答案:
17. 集合M={x|0<x≤3},N={x∈N|0≤x﹣1≤1},则M∩N= .
参考答案:
{1,2}
【考点】交集及其运算.
【专题】集合.
【分析】求出N中不等式解集的自然数解确定出N,找出M与N的交集即可.
【解答】解:∵M={x|0<x≤3},N={x∈N|0≤x﹣1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1,2},
∴M∩N={1,2}.
故答案为:{1,2}
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分) 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的极坐标方程为.
(1) 将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;
(2) 若点P(x,y)在圆C上,求x+y的最大值和最小值.
参考答案:
解 (1)由ρ2-4ρcos+6=0,得ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0,
即x2+y2-4x-4y+6=0为所求, …… 3分
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
令x-2=cos α,y-2=sin α,
得圆的参数方程为(α为参数). …… 6分
(2)由上述可知
x+y=4+(cos α+sin α)=4+2sin, …… 10分
故x+y的最大值为6,最小值为2.
略
19. (本题满分14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(I)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(II)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,
试确定t的值
参考答案:
(I)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………5分
(II)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
则平面BQC的法向量为;,,
,.
设,则,,
∵, …………7分
∴ , ∴ ……………………10分
在平面MBQ中,,,
∴ 平面MBQ法向量为.
∵二面角M-BQ-C为30°, ,
∴ . ……………………14分
20. 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率.
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2的列联表,并判断是否有90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
附:x2=
P(x2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案:
【考点】BO:独立性检验的应用.
【分析】(1)根据分层抽样,求得样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40人,由频率分布直方图日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有3人,25周岁以下组有2人,随机抽取2人,求得所有可能的结果,根据古典概型公式求得至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(2)据2×2列联表,代入求临界值的公式,求出观测值,利用观测值同临界值表进行比较,K2≈1.786<2.706,没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
【解答】解:(1)由已知得:样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40人,
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有60×0.05=3人,分别记为:A1,A2,A3,
25周岁以下组有工人40×0.05=2人,分别记为B1,B2,
从中随机抽取2人,所有可能的结果共10种,他们分别是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B2),(A3,B2),(B1,B2),
其中“至少有1名”,25周岁以下组的结果有7种,
故所求概率为P=;
(2)由频率分别直方图可知:在抽取的100名工人中,
“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15人,
“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15人,
据此可得2×2列联表:
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以K2=≈1.786<2.706.
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
【点评】本题考查根据频率分布直方图的应用,考查独立性检验的概率情况,以及随机分布的概率的计算,考查运算能力,属于中档题.
21. 某店销售进价为2元/件的产品,假设该店产品每日的销售量(单位:千件)与销售价格(单位:元/件)满足的关系式,其中.
(1)若产品销售价格为4元/件,求该店每日销售产品所获得的利润;
(2)试确定产品销售价格的值,使该店每日销售产品所获得的利润最大.(保留1位小数点)
参考答案:
(1)千元;(2)当销售价格为元/件时,利润最大.
从而
考点:1.函数的实际应用问题;2.导数与函数的单调性、最值.
22. [选修4-2:矩阵与变换]
已知矩阵M= 的一个特征值λ1=﹣1,及对应的特征向量,求矩阵M的逆矩阵.
参考答案:
【考点】特征值与特征向量的计算.
【分析】利用特