辽宁省铁岭市昌图县第三高级中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (10) 已知记数列的前项和为,即,则使的的最大值为 ( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
参考答案:
C
略
2. 函数y=a|x|(a>1)的图象是( )
参考答案:
B
略
3. 在[0,2]内,满足sinx>cosx的x的取值范围是( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
参考答案:
B
4. 已知,函数在上单调递减.则的取值范围( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 设集合,则所有的交集为……( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
6. 与直线2x+y-1=0关于点(1,0)对称的直线方程是( )
A. 2x+y-3=0 B. 2x+y+3=0 C. x+2y+3=0 D. x+2y-3=0
参考答案:
A
在所求直线上取点(x,y),关于点(1,0)对称的点的坐标为(a,b),则
∴a=2-x,b=-y,∵(a,b)在直线2x+y-1=0上
∴2a+b-1=0∴2(2-x)-y-1=0∴2x+y-3=0
故选A
7. △ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°则△ABC的面积等于( )
A.B.或 C. D.或
参考答案:
B
【分析】结合正弦定理可得,从而可求sinC及C,利用三角形的内角和公式计算A,利用三角形的面积公式S△ABC=bcsinA进行计算可求.
【解答】解:△ABC中,c=AB=,b=AC=1.B=30°
由正弦定理可得
sinC=
b<c∴C>B=30°
∴C=60°,或C=120°
当C=60°时,A=90°,S△ACB=bcsinA=×1××1=
当C=120°时,A=30°,S△ABC=×1××=
故选:B.
【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式,正弦定理及“大边对大角”的定理,还考查了三角形的面积公式S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC,在利用正弦定理求解三角形中的角时,在求出正弦值后,一定不要忘记验证“大边对大角”.
8. (5分)f(x)=,在(﹣∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是()
A. [,) B. [0,] C. ( 0,) D. ( ]
参考答案:
考点: 函数单调性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用分段函数单调的性质,建立不等关系,进行求解即可.
解答: 要使函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,
须有x<1时,y=(3a﹣1)x+4a递减,x
≥1时,y=﹣ax递减,且(3a﹣1)×1+4a≥﹣a×1,
∴有,
即,解得.
故选A.
点评: 本题考查函数单调性的性质,属中档题,准确理解减函数的意义是解决本题的关键所在.
9. (5分)下列命题
①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;
③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.其中真命题的个数是()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
B
考点: 简单空间图形的三视图.
专题: 综合题.
分析: 找出①的其它可能几何体﹣﹣﹣球;找出满足②其它可能几何体是圆柱;③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;正确;找出满足④可能的其它几何体是棱台;然后判断即可.
解答: ①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;也可能是球,不正确;
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;可能是放倒的圆柱,不正确;
③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;正确;
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.可能是棱台;不正确
故选B.
点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的作法,对于常见几何体的三视图,做到心中有数,解题才能明辨是非,推出正确结果.
10. 已知抛物线与抛物线关于点(3,4)对称,那么的值为 ( )
A.-28 B.-4 C.20 D.18
参考答案:
C 解析:设点上的一点,它关于点(3,4)的对称点
为
所以
故与抛物线关于点(3,4)对称的抛物线为
所以
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ________.
参考答案:
3
12. 设函数,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为 .
参考答案:
13. 过点(2,1)且斜率为2的直线方程为 _________ .
参考答案:
2x-y-3=0
14. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的函数图象向左平移个单位,最后所得到的图象对应的解析式是 .
参考答案:
略
15. 已知集合,,若则实数的取值范围是,其中 ▲ .
参考答案:
略
16. 化简(1+tan2)cos2= 。
参考答案:
1
17. 已知直线l:(m+1)x+(2m﹣1)y+m﹣2=0,则直线恒过定点 .
参考答案:
(1,﹣1)
【考点】恒过定点的直线.
【分析】直线l:(m+1)x+(2m﹣1)y+m﹣2=0,化为:m(x+2y+1)+(x﹣y﹣2)=0,联立,解出即可得出.
【解答】解:直线l:(m+1)x+(2m﹣1)y+m﹣2=0,化为:m(x+2y+1)+(x﹣y﹣2)=0,
联立,解得x=1,y=﹣1.
则直线恒过定点(1,﹣1).
故答案为:(1,﹣1).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为了了解我市特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:
年份x
2014
2015
2016
2017
2018
特色学校y(百个)
0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
(Ⅰ)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱(已知:,则认为y与x线性相关性很强;,则认为y与x线性相关性一般;,则认为y与x线性相关性较弱);
(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程,并预测我市2019年特色学校的个数(精确到个).
参考公式: ,,,,,.
参考答案:
(I)相关性很强;(II),208个.
【分析】
(Ⅰ)求得,,利用求出的值,与临界值比较即可得结论;(Ⅱ)结合(Ⅰ)根据所给的数据,利用公式求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上,求出的值,写出线性回归方程; 代入线性回归方程求出对应的的值,可预测地区2019年足球特色学校的个数.
【详解】(Ⅰ),, ,
∴与线性相关性很强.
(Ⅱ) ,
,
∴关于的线性回归方程是.
当时,(百个),
即地区2019年足球特色学校的个数为208个.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用,属于中档题.求回归直线方程的步骤:①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系;②求得公式中所需数据;③计算回归系数;④写出回归直线方程为; 回归直线过样本点中心是一条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两个变量的变化趋势.
19. 已知函数f(x)=log2(4x+1)﹣ax.
(1)若函数f(x)是R上的偶函数,求实数a的值;
(2)若a=4,求函数f(x)的零点.
参考答案:
【考点】函数的值域;偶函数;对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据偶函数的定义建立恒等式f(﹣x)=f(x)在R上恒成立,从而求出a的值即可;
(2)将a=4代入,令f(x)=0然后解对数方程,先求出4x的值,然后利用对数表示出x的值即可.
【解答】解:(1)∵f(x)是R上的偶函数
∴f(﹣x)=f(x)即f(﹣x)﹣f(x)=0
∴[log2(4﹣x+1)﹣a(﹣x)]﹣[log2(4x+1)﹣ax]=0
﹣2x+2ax=0
即a=1
(2)若a=4,f(x)=log2(4x+1)﹣4x
令f(x)=0,log2(4x+1)=4x4x+1=24x(4x)2﹣4x﹣1=0
或(舍)
∴
【点评】本题主要考查了偶函数的性质,以及函数的零点,同时考查了对数方程的求解,属于中档题.
20. 已知满足,,试写出该数列的前项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
参考答案:
解析:∵,,∴,,,,∴猜得
21. 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且.
(1)证明:BC∥平面PDE;
(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.
参考答案:
(1)见解析(2)见解析
【分析】
(1)先证明,再证明平面;(2)先证明平面,再证明.
【详解】证明:(1)因为,分别为,的中点,
所以.
又平面,平面,
所以平面.
(2)因为,为中点,所以.
又平面平面.
平面平面,所以平面.
又平面,所以.
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
22. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:
①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x﹣1)=f(﹣x﹣1)成立
②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立
(1)求f(1)的.
(2)求f(x)的解析式
(3)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤x.
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义.
【专题】计算题;综合题;函数的性质及应用.
【分析】(1)令x=1可得1≤f(1)≤2|1﹣1|+1;从而解得;
(2)结合当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x﹣1)=f(﹣x﹣1)成立及二次函数的性质可求出二次函数的解析式;
(3)由二次函数的性质知,设g(x)=x2+(2t﹣2)x+t2+2t+1,则恒成立问题可化为g(1)=t2+4t≤0,g(m)=m2+(2t﹣2)m+t2+2t+1≤0;从而解得.
【解答】解:(1)∵当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立,
∴当x=1时,1≤f(1)≤2|1﹣1|+1;
∴f(1)=1;
(2)∵f(x﹣1)=f(﹣x﹣1),
∴函数f(x)=ax2+bx+c的图象关于x=﹣1对称,
又∵当x∈R时,f(x)的最小值为0,
∴f(x)=a(x+1)2,a>0;
又∵f(1)=4a=1;
∴a=;
故f(x)=(x+1)2;
(3)∵f(x+t)=(x+t+1)2≤x,
∴x2+(2t﹣2)x+t2+2t+1≤0;
设g(x)=x2+(2t﹣2)x+t2+2t+1,
则g(1)=t2+4t≤0,g(m)=m2+(2