江苏省徐州市崔寨中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在下列四个正方体中,,,均为所在棱的中点,过,,作正方体的截面,则在各个正方体中,直线与平面不垂直的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
2. 当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】3O:函数的图象.
【分析】先从一次函数y=ax+b进行入手,通过观察图形确定a,b的范围,再根据指数函数的单调性是否能够满足条件,进行逐一排除即可得到答案.
【解答】解:由一次函数的图象和性质可得:
A中,b>1,a>0,则ba>1,y=bax=(ba)x为单调增函数,故A不正确;
B中,0<b<1,a>0,则0<ba<1,y=bax=(ba)x为单调减函数,故B正确;
C中,b>1,a<0,则0<ba<1,y=bax=(ba)x为单调减函数,C不对;
D中,0<b<1,a<0,则ba>1,y=bax=(ba)x为单调增函数,D不对
故选B.
3. 在△ABC中,,,,则BC边上的高等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 在△ABC中,,c=4,,则b=( )
A. B. 3 C. D.
参考答案:
B
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值,根据正弦定理即可计算解得b的值.
【详解】∵,c=4,,
∴ ,
∴由正弦定理 ,可得:,解得:b=3.
故选:B.
5. 函数f(x)=(x∈[1,3])的值域为( )
A.
[2,3]
B.
[2,5]
C.
D.
参考答案:
A
考点:
函数单调性的性质;基本不等式.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
变形可得函数f(x)==x+﹣2,x∈[1,3],利用导数可得函数f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,可得函数的最值,进而可得答案.
解答:
解:变形可得函数f(x)==x+﹣2,x∈[1,3],
求导数可得f′(x)=1﹣,令1﹣>0,可得x>2,
故可得函数f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,
故函数(x)的最小值为f(2)=2,最大值为f(1)或f(3)中的一个,
可得f(1)=3,f(3)=,故最大值为f(1)=3,
故函原数的值域为[2,3]
故选A
点评:
本题考查函数的单调性,涉及导数法解决函数的单调性和最值,属中档题.
6. 一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成,其三视图如图所示,则该几何体的体
积是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
试题分析:由三视图可知,这是半个圆柱和三棱柱组成的几何体,所以体积为.
考点:三视图.
7. 已知,函数在上单调递减.则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知命题:函数恒过(1,2)点;命题:若函数为偶函数,则的图像关于直线对称,则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
函数恒过定点,所以命题错误;若函数为偶函数,所以有,关于直线对称,所以命题错误;所以为真,为真,选B.
9. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.3
参考答案:
C
考点:余弦定理.
专题:解三角形.
分析:将“c2=(a﹣b)2+6”展开,另一方面,由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC,比较两式,得到ab的值,计算其面积.
解答: 解:由题意得,c2=a2+b2﹣2ab+6,
又由余弦定理可知,c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,
∴﹣2ab+6=﹣ab,即ab=6.
∴S△ABC==.
故选:C.
点评:本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也是最方便的定理之一,2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函数,向量,不等式等放在一起综合考查.
10. 如图所示,是某几何体的三视图,其中正视图、侧视图都为等腰直角三角形,底面为正方形,则该几何体的体积为( )
A.4 B.8 C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二项式的展开式中,常数项是 .
参考答案:
-160
略
12. 已知,若恒成立,则实数的取值范围是 。
参考答案:
13. 函数的图像关于直线对称的充要条件是 ;
参考答案:
m=-2
14. 设x、y满足约束条件,则z=|x|+|y|的最大值是 .
参考答案:
2
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,当x≥0,y≥0时,z=|x|+|y|=x+y,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解是坐标代入目标函数得z=|x|+|y|的最大值,由对称性可得z=|x|+|y|的最大值.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
由图可知,当x≥0,y≥0时,z=|x|+|y|=x+y,过A时z有最大值为2,
则由对称性可知,z=|x|+|y|的最大值是2.
故答案为:2.
15. 若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为,且函数在上是增函数,则a=___.
参考答案:
16. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=﹣f().则f(x)的最小正周期为 .
参考答案:
【考点】正弦函数的图象.
【分析】f()=f()求出函数的一条对称轴,结合f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=﹣f().可得函数的一个对称中心,利用对称中心与对称轴距离的最小值为周期,则周期可求
【解答】解:由f()=f()可知函数f(x)的一条对称轴为x==,
又f()=﹣f(),则f(x)有对称中心(,0),
由于f(x)在区间[,]上具有单调性,
则≤T所以T≥π,从而T=4()=.
故答案为:.
17. 某资料室在计算机使用中,如下表所示,编码以一定规则排列,且从左至右以及从上到下都是无限的.
1
1
1
1
1
1
…
1
2
3
4
5
6
…
1
3
5
7
9
11
…
1
4
7
10
13
16
…
1
5
9
13
17
21
…
1
6
11
16
21
26
…
…
…
…
…
…
…
…
此表中,数列1,3,7,13,21,…的通项公式为 ;编码51共出现 次.
参考答案:
(n∈N*) ,6
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,为椭圆的左右焦点,是椭圆的两个顶点,,,若点在椭圆上,则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点,两点的“椭点”分别为,已知以为直径的圆经过坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试探讨的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
参考答案:
(1);(2)的面积为定值1.
试题解析:(1)由题可得解得,故椭圆的标准方程为.
(2)设,,则,.由,即.(*)
①当直线的斜率不存在时,.
②当直线的斜率存在时,设其直线为,联立得
,则,,同理,代入(*),整理得,此时,,∴.
综上,的面积为定值1.
考点:椭圆的标准方程,解析几何中的新定义问题.
【名师点睛】解答圆锥曲线中平面图形的面积问题,如果图形不是三角形,通常把它分割为几个三角形,然后利用弦长公式求得三角形的一边长,再利用点到直线的距离公式公式求得三角形的高,其边长与高通常都用直线的斜率表示,从而确定平面图形面积是定值.
19. 已知Sn是数列{an}的前n项和,满足,正项等比数列{bn}的前n项和为Tn,且满足b3=8,T2=6.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列{cn}的前n项和Gn.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【专题】综合题;方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)利用递推关系可得an.利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得bn.
(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:(1)n=1,a1=S1=2n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1=n+1,
∴an=n+1.
设等比数列{bn}的公比为q,首项为b1,依题意可知或(舍),
∴.
(2)则Gn=2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1+(n+1)×2n,
2Gn=2×22+3×23+…+(n﹣1)×2n﹣1+n×2n+(n+1)2n+1,
∴﹣Tn=2×2+(22+23+…+2n)﹣(n+1)×2n+1,
即﹣Tn=2×2+﹣(n+1)×2n+1,
﹣Tn=2×2+2n+1﹣4﹣(n+1)×2n+1,
﹣Tn=2n+1﹣(n+1)×2n+1,
﹣Tn=﹣n×2n+1,
Tn=n?2n+1,n∈N*.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. 在中,分别是内角的对边,且满足。
(1)求角的大小;
(2)若,且,求的面积。
参考答案:
(1)在中,∵,
∴,
即,即,…………………………2分
,∴,
∴ 。 …………………………4分
(2)在中,,即,故,
由已知,可得,
∴,
整理得。…………………………6分
若,则,
于是由,可得,
此时的面积为。 …………………………8分
若,则,
由正弦定理可知,,
代入,整理可得,解得,进而,
此时的面积为。
∴综上所述,的面积为。 …………………………12分
【考点】解三角形。
21. 在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,曲线C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
参考答案:
(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立,解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(,).
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
22. 已知函数上为增函数,函数上为减函数。
(Ⅰ)求实数的值