河北省保定市林清寺中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在中, ,,为的中点 ,则=( )
A.3 B. C.-3 D.
参考答案:
D
2. 如图给出的是计算的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )。
A. B.
C. D.
参考答案:
C
3. 为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到 “光盘”行动,得到如下的列联表:
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
参考答案:
C
4. 如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩,则输出的,分别是( )
A., B.,
C., D.,
参考答案:
B
5. 若设,则一定有( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
6. (改编)右面的程序框图输出的结果为( )
参考答案:
D
7. 已知点M在不等式组确定的平面区域内,则点N所在平面区域的面积是( )
A、1 B、2 C、4 D、8
参考答案:
C
8. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
参考答案:
D
9. 设f(x)是定义在R的偶函数,对任意x?R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x?[-2, 0]时, f(x)=.若在区间(-2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(1, 2) B.(2,+¥) C.(1,) D.(, 2)
参考答案:
D
10. 已知,那么的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,,是边上一点,,则____________.
参考答案:
略
12. 双曲线与直线相交于两个不同的点,则双曲线离心率的取值范围是 .
参考答案:
13. 已知直线f过双曲线的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则该双曲线的离心率的取值范围是_________.
参考答案:
14. 已知非零向量序列:满足如下条件:||=2, ?=﹣,且=(n=2,3,4,…,n∈N*),Sn=,当Sn最大时,n= .
参考答案:
8或9
【考点】数列的求和;平面向量的基本定理及其意义.
【专题】等差数列与等比数列;平面向量及应用.
【分析】由已知条件采用累加法求得=+(n﹣1),求出?的通项公式,利用等差数列的性质进行求解即可.
【解答】解:∵ =,
∴向量为首项为,公差为的等差数列,
则=+(n﹣1),
则?=?[+(n﹣1)]=2+(n﹣1)?=4(n﹣1)=,
由?=≥0,
解得n≤9,
即当n=9时, ?=0,
则当n=8或9时,Sn最大,
故答案为:8或9.
【点评】本题考查了数列递推式,训练了累加法去数列的通项公式,是中档题
15. 在四面体中,,二面角的大小为,则四面体外接球的半径为 .
参考答案:
16. 设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0﹣2y0=2,求得m的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣)
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由题意作出其平面区域,则由图可知,点(﹣m,m)在直线x=2y+2的下方,故﹣m﹣2m>2,从而解得.
【解答】解:由题意作出其平面区域,
则由图可知,点(﹣m,m)在直线x=2y+2的下方,
故﹣m﹣2m>2,
解得,m<﹣;
故答案为:(﹣∞,﹣).
17. 不等式的解集为_______________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图,求△的各边长及此三棱锥的体积.
参考答案:
4,4,4;
19. 已知函数f(x)=x3﹣ax2+(a2﹣1)x+b(a,b∈R).
(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;
(2)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y﹣3=0,求f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值;
(3)当a≠0时,若f(x)在区间(﹣1,1)上不单调,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.
【分析】(1)先求导数,再根据x=1是f(x)的极值点得到:“f′(1)=0”,从而求得a值;
(2)先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值,再研究闭区间上的最值问题,先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最大值与最小值.
(3)由题意得:函数f(x)在区间(﹣1,1)不单调,所以函数f′(x)在(﹣1,1)上存在零点.再利用函数的零点的存在性定理得:f′(﹣1)f′(1)<0.由此不等式即可求得a的取值范围.
【解答】解:(1)f′(x)=x2﹣2ax+a2﹣1
∵x=1是f(x)的极值点,
∴f′(1)=0,即a2﹣2a=0,解得a=0或2;
(2)∵(1,f(1))在x+y﹣3=0上.∴f(1)=2
∵(1,2)在y=f(x)上,∴又f′(1)=﹣1,
∴1﹣2a+a2﹣1=﹣1∴a2﹣2a+1=0,
解得∴
由f′(x)=0可知x=0和x=2是极值点.
∵
∴f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值为8.
(3)因为函数f(x)在区间(﹣1,1)不单调,
所以函数f′(x)在(﹣1,1)上存在零点.
而f′(x)=0的两根为a﹣1,a+1,区间长为2,
∴在区间(﹣1,1)上不可能有2个零点.
所以f′(﹣1)f′(1)<0,∵a2>0,
∴(a+2)(a﹣2)<0,﹣2<a<2.
又∵a≠0,∴a∈(﹣2,0)∪(0,2).
20. 已知点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),且0<α<π.
(1)若| + |= ,求与的夹角.
(2)若⊥,求tanα的值.
参考答案:
又因为α∈(0,π),所以α∈(,π).
因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,cosα-sinα<0,
所以cosα-sinα=. ②
由①②得cosα=,sinα=,
所以tanα=.
21. 某校从高一年级期末考试的学生中抽出名学生,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示:
(1)估计这次考试的及格率(分及以上为及格);
(2) 假设在[90,100]段的学生的成绩都不相同,且都在94分以上,现用简单随机抽样方法,从这个数中任取个数,求这个数恰好是两个学生的成绩的概率.
参考答案:
解:(Ⅰ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,
频率和为
所以,抽样学生成绩的合格率是80%6分
(Ⅱ)从中抽取2个数全部可能的基本结果有:
,,,,,,,,,,,,,.共15个基本结果.………………….9分
如果这个数恰好是两个学生的成绩,则这个学生在段,而的人数是人,不妨设这人的成绩是.
则事件:“个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有:,.共有个基本结果.………………….10分
所以所求的概率为.………………….12分
略
22. 在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)当时,求曲线上的点到直线的距离的最大值;
(Ⅱ)若曲线上的所有点都在直线的下方,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)直线的直角坐标方程为,曲线.
∴曲线为圆,且圆心到直线的距离.
∴曲线上的点到直线的距离的最大值为.
(Ⅱ)∵曲线上的所有点均在直线的下方,
∴对,有恒成立.
即(其中)恒成立.
∴.
又,∴解得.
∴实数的取值范围为.