江西省新余市钤阳中学高一数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,给出下列命题:①必是偶函数;②当时,的图像关于直线对称;③若,则在区间上是增函数;④若,在区间上有最大值. 其中正确的命题序号是:( )
A. ③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③
参考答案:
A
2. 下列四个函数中与表示同一个函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 函数y=的值域为( )
A.{y|y≠1} B.{y|y>1} C.{y|y>2} D.{y|-1<y<2}
参考答案:
A
略
4. 四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程与时间的函
数关系式分别是如果运动的时间足
够长,则运动在最前面的物体一定是
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 方程组的解集是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 在中,有命题:
①; ②;
③若,则为等腰三角形;
④若,则为锐角三角形.上述命题正确的是
A.①② B.①④ C.②③ D.②③④
参考答案:
C
7. 一组数据从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中,已知该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的标准差为( )
A.9 B.4 C.3 D.2
参考答案:
C
由题意得该组数据的中位数为;众数为2.
∴,
∴.
∴该组数据的平均数为,
∴该组数据的方差为
,
∴该组数据的标准差为3.
故选C.
8. 下列四组函数中,表示同一函数的是( ).
A.f(x)=|x|,g(x)= B.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x
C.f(x)=,g(x)=x+1 D.f(x)=·,g(x)=
参考答案:
A
略
9. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则B的大小是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
∵,∴,
又,∴,又为三角形的内角,所以,故
.选C.
10. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则有以下四种说法:
甲
环数
4
5
6
7
8
频数
1
1
1
1
1
乙
环数
5
6
9
频数
3
1
1
①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数; ②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数;
③甲成绩的方差小于乙成绩的方差; ④甲成绩的极差小于乙成绩的极差.
其中正确命题的个数是( )(注:,其中为数据的平均数)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
A
【分析】
根据题意先求出甲、乙成绩的平均数;再根据方差公式求出甲、乙的方差,计算甲、乙的中位数,计算甲、乙的极差,即可得出答案.
【详解】甲五次成绩的平均数为:(4+5+6+7+8)÷5=6,乙五次成绩的平均数为:(5+5+5+6+9)÷5=5,所以①错误;因为,,所以③正确;因为甲的中位数是6,乙的中位数是5,所以②错误;因为甲的极差为8-4=4,乙的极差为9-5=4,所以④错误,
综上知,正确的只有③,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了极差,方差,平均数,中位数,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 代数式的最小值为 .
参考答案:
12. (5分)工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120°,外圆半径为50cm,内圆半径为20cm.则制作这样一面扇面需要的布料为 cm2(用数字作答,π取3.14).
参考答案:
2198
考点: 扇形面积公式.
专题: 计算题;三角函数的求值.
分析: 由扇形的面积公式,可得制作这样一面扇面需要的布料.
解答: 由扇形的面积公式,可得制作这样一面扇面需要的布料为×50×50﹣×20×20≈2198.
故答案为:2198.
点评: 本题考查扇形的面积公式,考查学生的计算能力,比较基础.
13. (4分)若圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为 .
参考答案:
2
考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 设出圆锥的底面半径,由它的侧面展开图是一个半圆,分析出母线与半径的关系,结合圆锥的表面积为3π,构造方程,可求出直径.
解答: 设圆锥的底面的半径为r,圆锥的母线为l,
则由πl=2πr得l=2r,
而S=πr2+πr?2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1,所以直径为:2.
故答案为:2.
点评: 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.
14. 函数的值域是 ▲ .
参考答案:
15. 计算
参考答案:
2
16. 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若则___________
参考答案:
17. 若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()=__________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,
(Ⅰ)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图像.
(Ⅱ)写出的图象是由的图象经过怎样的变换得到的.
参考答案:
19. (本小题12分)设函数.
(1)求函数的最大值和最小正周期;
设A,B,C为的三个内角,若且C为锐角,求.
参考答案:
解析:(1)2分
所以 当2x=时,
取得最大值,.4分
的最小正周期
故取得最大值,的最小正周期6分
(2)由.
又C为锐角,所以.8分
由10分
因此=12分
20. 已知
(1)求的值;
(2)当(其中,且为常数)时,是否存在最小值,如果存在求出最小值;如果不存在,请说明理由;
(3)当时,求满足不等式的的范围.
参考答案:
解:(1)由得: 所以f(x)的定义域为:(-1,1),
又,
∴f(x)为奇函数,∴=0.…… 4分
(2)设,
则
∵,∴, ∴,
当时,在上是减函数,又
∴时,有最小值,且最小值为
当时,在上是增函数,又
∴时,无最小值. …… 9分
(3)由(1)及得
∵,∴在上是减函数,
∴,解得,∴的取值范围是 …… 12分
21. (10分)如图:有一块半径为2的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底是圆的直径,上底CD的端点在圆周上.梯形的周长令为y,腰长为x
(Ⅰ)求周长y关于腰长x的函数关系式,并求其定义域;
(Ⅱ)当梯形周长最大时,求此时梯形的面积S.
参考答案:
考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义.
专题: 函数的性质及应用.
分析: ( I)画出图形,结合图形,求出周长y关于腰长x的函数解析式,再求出函数的定义域即可;
(Ⅱ)求出函数y的最大值,并求出此时对应的梯形的面积S.
解答: ( I)如图所示,作DE⊥AB于E,连接BD,
因为AB为直径,所以∠ADB=90°;
在Rt△ADB与Rt△AED中,∠ADB=90°=∠AED,∠BAD=∠DAE,
所以Rt△ADB∽Rt△AED;
所以=,即AE=;
又AD=x,AB=4,所以AE=;
所以CD=AB﹣2AE=4﹣2×=4﹣,
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8,
由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,>0,4﹣>0,
解得0<x<2;
故所求的函数为y=﹣x2+2x+8(0<x<2);
(Ⅱ)因为y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣2)2+10,
又0<x<2,所以,当x=2时,y有最大值10,
此时,梯形的腰长AD=x=2,下底长AB=4,所以AE==1;
所以上底长CD=AB﹣2AE=4﹣2×1=2,高DE=;
∴梯形的面积为S=(AB+CD)?DE=×(4+2)×=3.
点评: 本题考查了函数模型的应用问题,也考查了求函数最值的问题,是综合性题目.
22. 已知函数,直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴.
(1)求的值及函数f(x)的单调递增区间;
(2)画出函数f(x)在的图像.
参考答案:
(1),;(2)图像见解析
【分析】
(1)化简得到,根据对称轴得到,解得,再解不等式得到答案.
(2)取特殊点,画出函数图像得到答案.
【详解】(1)
,时,,
故,当时,满足条件,故.
取,解得.
故函数的单调增区间为:.
(2)
如图所示:画出函数图像,
【点睛】本题考查了三角恒等变换,对称轴,单调性,函数图像,意在考查学生对于三角函数知识的综合运用.