河南省驻马店市杨家集乡教管站中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系中,记d为点到直线的距离,当
变化时,d的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
2. 在映射,,且,则中的元素 对应在中的元素为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 下列各式不正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数,
则所有符合条件的值之和是( )
A.13 B.18 C.21 D.26
参考答案:
C
5. 直线必过定点,该定点的坐标为( )
A.(3,2) B.(–2,3) C.(2,–3) D.(2,3)
参考答案:
D
6. 将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈,则2x1﹣x2的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】3H:函数的最值及其几何意义;3O:函数的图象.
【分析】由已知可得g(x)=+1,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈,则g(x1)=g(x2)=3,则,结合x1,x2∈,可得答案.
【解答】解:函数的图象向左平移个单位,可得y=的图象,
再向上平移1个单位,得到g(x)=+1的图象.
若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈,
则g(x1)=g(x2)=3,
则,
即,
由x1,x2∈,得:x1,x2∈{﹣,﹣,, },
当x1=,x2=﹣时,2x1﹣x2取最大值,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,函数图象的变换,三角函数的图象和性质,难度中档.
7. 方程的全体实数解组成的集合为________.
参考答案:
8. 某班共有56名学生,根据学生的学号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知学号为5号、33号、47号的同学在样本中,那么样本中另一名同学的学号是( )
A.17 B.18 C.19 D.20
参考答案:
C
9. 下列哪组中的两个函数是同一函数 ( )
A. 与 B.与
C. 与 D.与
参考答案:
B
10. 在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若,A=60°,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知下列四个命题:①函数满足:对任意都有
;②函数不都是奇函数;③若函数满足,且,则;④设、是关于的方程的两根,则,其中正确命题的序号是__________。
参考答案:
①,③,④
略
12. 已知函数f(x)=且f(x0)=8,则x0= ,f(x)的值域为 .
参考答案:
4,(﹣6,+∞).
【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的值域.
【分析】当x0≤﹣3时,,当x0>﹣3时,2x0=8,由此能求出f(x0)=8时,x0的值.当x≤﹣3时,f(x)=x2+2≥11,当x>﹣3时,f(x)=2x>﹣6.由此能求出f(x)的值域.
【解答】解:∵函数f(x)=,且f(x0)=8,
∴当x0≤﹣3时,,解得,不成立;
当x0>﹣3时,2x0=8,解得x0=4,成立.
∴f(x0)=8时,x0=4.
当x≤﹣3时,f(x)=x2+2≥11,
当x>﹣3时,f(x)=2x>﹣6.
∴f(x)的值域为(﹣6,+∞).
故答案为:4,(﹣6,+∞).
13. 函数的最小值为 .
参考答案:
2
14. 已知为第三象限的角,,则
参考答案:
略
15. 设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则__________.
参考答案:
分析:首先根据等差数列的性质得到,利用分数的性质,将项的比值转化为和的比值,从而求得结果.
详解:根据题意有,所以答案是.
点睛:该题考查的是有关等差数列的性质的问题,将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值,结论为,从而求得结果.
16. 函数f(x)=cos 2x+sin x的最小值是________
参考答案:
17. 已知集合A=,B=,且A=B ,则实数
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【分析】(1)用待定系数法先设函数f(x)的解析式,再由已知条件求解未知量即可
(2)只需保证对称轴落在区间内部即可
(3)转化为函数求最值问题,即可得到个关于变量m的不等式,解不等式即可
【解答】解:(1)由已知∵f(x)是二次函数,且f(0)=f(2)
∴对称轴为x=1
又最小值为1
设f(x)=a(x﹣1)2+1
又f(0)=3
∴a=2
∴f(x)=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3
(2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1
∴
(3)由已知2x2﹣4x+3>2x+2m+1在[﹣1,1]上恒成立
化简得m<x2﹣3x+1
设g(x)=x2﹣3x+1
则g(x)在区间[﹣1,1]上单调递减
∴g(x)在区间[﹣1,1]上的最小值为g(1)=﹣1
∴m<﹣1
19. 已知函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+.设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值.
(2)问:|PM|?|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
参考答案:
解:(1)∵f(2)=2+=2+,∴a=.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),则有y0=x0+,x0>0,
由点到直线的距离公式可知,|PM|==,|PN|=x0,
∴有|PM|?|PN|=1,即|PM|?|PN|为定值,这个值为1.
(3)由题意可设M(t,t),可知N(0,y0).
∵PM与直线y=x垂直,
∴kPM?1=﹣1,即=﹣1.解得t=(x0+y0).
又y0=x0+,∴t=x0+.
∴S△OPM=+,S△OPN=x02+.
∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=(x02+)+≥1+.
当且仅当x0=1时,等号成立.
此时四边形OMPN的面积有最小值:1+.
略
20. 已知函数,
(1)求函数的定义域; (2)求的值;
参考答案:
解:(1)要使函数有意义
得且
所以函数的定义域为
(2)依题意,得
略
21. (12分)设函数f(x)=a﹣,
(1)描述函数f(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)确定a的值,使f(x)为奇函数并求此时f(x)的值域.
参考答案:
考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: (1)运用函数的单调性的定义,注意作差、变形、定符号和下结论,即可判断;
(2)由函数的奇偶性的定义,即可得到a,再运用变量分离,结合指数函数的值域,即可得到所求值域.
解答: (1),
∵x1<x2,∴,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴不论a为何值,f(x)总为增函数;
(2)假设存在实数a,函数是奇函数,
因为f(x)的定义域为R,所以f(0)=a﹣1=0,所以a=1.
此时,则,
所以f(x)为奇函数.即存在实数a=1,使函数f(x)为奇函数.
∵,∴,
∴f(x)的值域为:(﹣1,1).
点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查函数的值域的求法,考查运算能力,属于中档题.
22. 在梯形中,,,四边形为矩形,平面平面,.
(1)设为上一点,且平面平面,求长;
(2)求证:平面平面;
(3)点在线段上运动,设平面与平面
所成二面角的平面角为,试求的取值范围.
参考答案:
(1)解:
(2)证明:只需证明平面
(3)解:
略