安徽省芜湖市第八中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
,
故答案为:D.
2. 函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 复数z=+i3(i为虚数单位)的共轭复数为( )
A.1﹣2i B.1+2i C.i﹣1 D.1﹣i
参考答案:
B
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】转化思想;数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:原式=﹣i=﹣(i﹣1)﹣i=1﹣2i,
∴复数z=+i3(i为虚数单位)的共轭复数为1+2i.
故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4. 已知全集,集合
,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
因为集合,又,所以.所以
5. 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆面积为36π,则p=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
参考答案:
D
考点: 抛物线的简单性质.
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,由此可求p的值.
解答: 解:∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为36π,∴圆的半径为6,
又∵圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,
∴+=6,
∴p=8,
故选:D.
点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查学生的计算能力,属于基础题.
6. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 设z=1-i(i为虚数单位),则z2 +=
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
参考答案:
C
略
8. 如果a>b>0,且a+b=1,那么在不等式①;②;③;④中,一定成立的不等式的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
参考答案:
D
【考点】不等式的基本性质.
【分析】通过特殊值判断①②,通过通分判断③,通过基本不等式的性质判断④.
【解答】解:如果a>b>0,且a+b=1,
那么①,②,令a=0.8,b=0.2,显然不成立,故①②错误;
③+==,故错误;
④1=a+b>2,故,
故④正确,
故选:D.
9. 设偶函数满足,则不等式>0的解集为_____.
参考答案:
10. 若复数是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数a的值为
A. B. C. D.2
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在ABC中,,,若(O是ABC的外心),则的值为
参考答案:
略
12. 已知正方形ABCD边长为1,E是线段CD的中点,则__________.
参考答案:
【分析】
由已知条件,将进行拆分,根据向量加法原则及几何意义,可将其转化为,即得解.
【详解】由题意可得:;
故:
故答案为:
【点睛】本题考查了学生对平面向量的应用,向量的加法,数量积等知识点,考查了学生转化与划归,数学运算的能力,属于中档题.
13. 已知向量,满足||=1,||=3,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则|﹣|等于 .
参考答案:
考点:平面向量数量积的运算.
专题:对应思想;综合法;平面向量及应用.
分析:根据投影相等列出方程解出向量夹角,求出数量积,代入模长公式计算.
解答:解:设夹角为θ,则cosθ=3cosθ,∴cosθ=0,.
∴=0,∴()2==10.∴|﹣|=.
故答案为.
点评:本题考查了平面向量的数量积运算及模长运算,属于基础题.
14. 若平面向量,满足,平行于轴,,则= .
参考答案:
略
15. 已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则等于 .
参考答案:
16. 已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有
参考答案:
10
17.
已知向量,且与的夹角为钝角,则的取值范围是 .
参考答案:
答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%:乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%.生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.
(1)记X(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求x的分布列:
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
参考答案:
略
19. (2017?衡阳一模)已知函数f(x)=xlnx+a|x﹣1|.
(Ⅰ)当a=0时,求f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(Ⅰ)由f(x)=xlnx,知f′(x)=1+lnx,x>0,由此能求出函数f(x)的单调区间和极小值、最小值;
(Ⅱ)由已知可得:f(1)=0,故1为函数的一个零点;对a进行分类讨论,求出不同情况下,满足条件的a值,综合讨论结果,可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)∵a=0时,f(x)=xlnx,
∴f′(x)=1+lnx,x>0,
∵f′(x)>0解得x>,f′(x)<0解得0<x<,
∴函数f(x)的减区间为(0,),增区间为(,+∞),
f(x)在x=取得极小值﹣.
(Ⅱ)由已知可得:f(1)=0,故1为函数的一个零点;
若a=0,则函数仅有一个零点,不满足条件;
若a>0,则
当x>1时,f(x)=xlnx+ax﹣a,f′(x)=lnx+1+a>0恒成立,此时函数为增函数,不存在零点,
当0<x<1时,f(x)=xlnx﹣ax+a,f′(x)=lnx+1﹣a,若此时函数存在零点,则lnx+1﹣a=0有解,
即a=lnx+1<1有解,即0<a<1;
若a<0,则
当0<x<1时,f(x)=xlnx﹣ax+a,f′(x)=lnx+1﹣a>0恒成立,此时函数为增函数,不存在零点,
x>1时,f(x)=xlnx+ax﹣a,f′(x)=lnx+1+a,若此时函数存在零点,则lnx+1+a=0有解,
即a=﹣(lnx+1)<﹣1有解,即a<﹣1;
综上可得:0<a<1,或a<﹣1.
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
20. 如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,且DC=EB=1,AB=4.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C﹣ADE体积最大时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【专题】空间位置关系与距离;空间角.
【分析】(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面ACD;
(2)根据三棱锥的体积公式,确定体积最大时的条件,建立空间坐标系,利用向量法即可得到结论.
【解答】(1)证明:因为AB是直径,所以BC⊥AC,…1分,
因为CD⊥平面ABC,所以CD⊥BC …2分,
因为CD∩AC=C,所以BC⊥平面ACD …3分
因为CD∥BE,CD=BE,所以BCDE是平行四边形,BC∥DE,
所以DE⊥平面ACD,…4分,
因为DE?平面ADE,
所以平面ADE⊥平面ACD …5分
(2)因为DC=EB=1,AB=4由(Ⅰ)知===,
,当且仅当AC=BC=2时等号成立 …8分
如图所示,建立空间直角坐标系C﹣xyz,
则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0),
则=(﹣2,2,0),=(0,0,1),
=(0,2,0),=(2,0,﹣1)…9分,
设面DAE的法向量为=(x,y,z),
则,
取=(1,0,2),
设面ABE的法向量为=(x,y,z),
则,
取=(1,1,0),…12分,
则cos<>==,
结合图象可以判断二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣,…13分
【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定依据空间二面角的求解,利用向量法是解决空间二面角的常用方法.
21. 已知圆M:(x+)2+y2=16,点N(,0),点P是圆上任意一点,线段NP的垂直平分线MP于点Q,设动点Q的轨迹为C
(Ⅰ)求C的方程
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m与轨迹C交于G,H两点,O为坐标原点,若△GOH的重心恰好在圆x2+y2=上,求m的取值范围.
参考答案:
考点:直线和圆的方程的应用.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:(Ⅰ)如图,通过|QP|=|QN|,|MQ|+|QN|=|MP|=4,可知点Q的轨迹是以M、N为焦点,长轴长等于4的椭圆,即得椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点G(x1,y1),H(x2,y2),联立直线l与椭圆C的方程,由韦达定理得x1+x2,从而可得y1+y2,及△GOH的重心的坐标并将其代入圆的方程,通过计算得<1+4k2(k≠0),利用不等式即得实数m的取值范围.
解答: 解:(Ⅰ)如图,∵|QP|=|QN|,∴|MQ|+|QN|=|MP|=4,
故点Q的轨迹是以M、N为焦点,长轴长等于4的椭圆,
所以椭圆C的方程为;
(Ⅱ)设点G(x1,y1),H(x2,y2),
方程联立 得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由韦达定理,得x1+x2=,所以y1+y2=,
所以△GOH的重心的坐标为(,),
∴[]2+[]2=,
整理得: ①
依题意△=(8mk)2﹣16(m2﹣1)(1+4k2)=16(1+4k2﹣m2)>0,得m2<1+4k2 ②
由①、②易得k≠0,
设t=1+16k2 (t>1),则,
所以m2==,当且仅当t=3取等号,
所以实数m的取值范围是.
点评:本题考查点的轨迹方程的求法,考查韦达定理、基本不等式、直线与圆的位置关系,解题时要认真审题,注意积累解题方法,属于中档题.
22. 过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M,N两点,且.
(1)求p的值;
(2)抛物线C上一点,直线(其中)与抛物线C交于A,B两个不同的点(均与点Q不重合),设直线QA,QB的斜率分别为,,.动点H在直线l上,且满足,其中O为坐标原点.当线段最长时,求直线l的方程.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)设直线方程为,