云南省昆明市安宁第一中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数满足,则的解析式是 ( )
A. B. C. D
参考答案:
B 解析:由,于是
2. 已知M=x2﹣3x+7,N=﹣x2+x+1,则( )
A.M<N B.M>N
C.M=N D.M,N的大小与x的取值有关
参考答案:
B
【考点】不等式比较大小.
【分析】通过作差求出M﹣N>0,从而比较出其大小即可.
【解答】解:∵M﹣N=x2﹣3x+7+x2﹣x﹣1=2(x2﹣2x+3)=2(x﹣1)2+4>0,
故M>N,
故选:B.
3. 如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
【考点】直线的一般式方程.
【专题】计算题.
【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣,再由AC<0,BC<0得到﹣,﹣,数形结合即可获取答案
【解答】解:∵直线Ax+By+C=0可化为,
又AC<0,BC<0
∴AB>0,∴,
∴直线过一、二、四象限,不过第三象限.
故答案选C.
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化,以及学生数形结合的能力,属容易题
4. 集合,集合,则的关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 若函数,则对任意实数,下列不等式总成立的是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
6. 在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=4,则?=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
参考答案:
A
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】首先利用余弦定理求出角A,然后利用平面向量的数量积公式解答即可.
【解答】解:在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=4,所以cosA=,
所以与的夹角的余弦值为,
则?=|AC||AB||cosA|=2×3×=;
故选:A.
7. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 偶函数y=f(x)满足下列条件①x≥0时,f(x)=x3;②对任意x∈[t,t+1],不等式f(x+t)≥8f(x)恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣] B.[﹣] C.[﹣2,] D.[﹣]
参考答案:
A
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据f(x)为偶函数便可得到f(|x+t|)≥8f(|x|),从而有|x+t|3≥8|x|3,从而得到|x+t|≥2|x|,两边平方便有(x+t)2≥4x2,经整理便可得到3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t,t+1]上恒成立,这样只需3(t+1)2﹣2t(t+1)﹣t2≤0,解该不等式即可得出实数t的取值范围.
【解答】解:根据条件得:f(|x+t|)≥8f(|x|);
∴(|x+t|)3≥8(|x|)3;
∴(|x+t|)3≥(2|x|)3;
∴|x+t|≥2|x|;
∴(x+t)2≥4x2;
整理得,3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t,t+1]上恒成立;
设g(x)=3x2﹣2tx﹣t2,g(t)=0;
∴g(t+1)=3(t+1)2﹣2t(t+1)﹣t2≤0;
解得t;
∴实数t的取值范围为(﹣∞,﹣].
故选:A.
【点评】考查偶函数的定义,y=x3的单调性,不等式的性质,并需熟悉二次函数的图象.
9. 下列函数中与函数相等的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 如图,O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
参考答案:
B
【考点】9V:向量在几何中的应用.
【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量,确定﹣=,判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项.
【解答】解:∵、分别表示向量、方向上的单位向量,
∴+的方向与∠BAC的角平分线重合,
又∵可得到﹣==λ(+)
∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合,
∴一定通过△ABC的内心
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 求过(2,3)点,且与(x-3)2+y2=1相切的直线方程为
参考答案:
或
12. 已知函数在定义域上是增函数,且 则的取值范围是 。
参考答案:
(2,3)
13. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,16),则函数f(x)的解析式是 。
参考答案:
y=x4
略
14. 不等式的解为 .
参考答案:
15. 函数的单调增区间为 .
参考答案:
略
16. 已知函数, 若函数
有两个不同的零点,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
17. (3分)已知函数f(x)=,则f(f(1))= .
参考答案:
﹣1
考点: 函数的值.
专题: 计算题.
分析: 根据函数解析式先求出f(1)的值,再求出f(f(1))的值.
解答: 解:由题意得,f(1)=3﹣1=2,
所以f(f(1))=f(2)=2﹣3=﹣1,
故答案为:﹣1.
点评: 本题考查分段函数的函数值,对于多层函数值应从内到外依次求值,注意自变量对应的范围.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. .已知函数y= (A>0, >0,)的最小正周期为,
最小值为-2,图像过(,0),求该函数的解析式。
参考答案:
解: , (3分)
又, (5分)
所以函数解析式可写为ks5u
又因为函数图像过点(,0),
所以有: 解得 (7分)
(少一个扣4分) (12分)
所以,函数解析式为: (14分)
略
19. 已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),|﹣|=.
(1)求cos(α﹣β)的值
(2)若0<α<,﹣<β<0,cosβ=,求sinα.
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数.
【分析】(1)利用两个向量坐标形式的运算,两角差的余弦公式求得cos(α﹣β)的值.
(2)由条件求得 sin(α﹣β)、sinβ的值,再根据sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ 计算求得结果.
【解答】解:(1)∵=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),
|﹣|===.
∴cos(α﹣β)=.
(2)由(1)得,,
∴,∴sin(α﹣β)==,
又∵cosβ=,∴sinβ=﹣=﹣.
∴sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ
=+=.
20. 已知函数f(x)=x2﹣(a+1)x+1(a∈R).
(1若关于x的不等式f(x)<0的解集是{x|m<x<2},求a,m的值;
(2)设关于x的不等式f(x)≤0的解集是A,集合B={x|0≤x≤1},若 A∩B=?,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】3W:二次函数的性质.
【分析】(1)应用一元二次不等式和方程的关系结合根与系数的关系得到关于a,m的方程组,求出a,m的值即可;
(2)问题转化为a+1<x+对于x∈(0,1]恒成立(当x=0时,1>0恒成立);求出a的范围即可.
【解答】解:(1)∵关于x的不等式f(x)<0的解集是{x|m<x<2},
∴对应方程x2﹣(m+1)x+1=0的两个实数根为m、2,
由根与系数的关系,得,解得a=,m=;
(2)∵关于x的不等式f(x)≤0的解集是 A,
集合B={x|0≤x≤1},当 A∩B=φ时,即不等式f(x)>0对x∈B恒成立;
即x∈时,x2﹣(a+1)x+1>0恒成立,
∴a+1<x+对于x∈(0,1]恒成立(当x=0时,1>0恒成立);
∵当x∈(0,1]时,
∴a+1<2,即a<1,∴实数a的取值范围是{a|a<1}.
21. 已知数列{an}、{bn},其中, ,数列{an}满足,,数列{bn}满足.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)是否存在自然数m,使得对于任意有恒成立?若存在,求出m的最小值;
(3)若数列{cn}满足,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)由,即,.
又,所以
. ……………………2分
当时,上式成立,故……………………3分
因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列,
故. ……………………5分
(2) 由(1)知,则
.……………………7分
假设存在自然数,使得对于任意有恒成立,即恒成立,由,解得. ……………………9分
所以存在自然数,使得对于任意有恒成立,此时, 的最小值为16. ……………………………………10分
(3)当为奇数时,
;………………13分
当为偶数时,
. ………………15分
因此
………………16分
22. 函数f(x)=6cos2+sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)=,且x0∈(﹣,),求f(x0+1)的值.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(1)变形可得f(x)=2sin(ωx+),由又由三角形的知识和周期公式可得ω=,由振幅的意义可得值域;
(2)由已知和(1)的解析式可得sin(x0+)=,进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos(x0+)=,代入f(x0+1)=2sin(x0++)=2× 计算可得.
【解答】解:(1)由已知得f(x)=6cos2+sinωx﹣3
=3cosωx+sinωx=2sin(ωx+)
又△ABC为正三角形,且高为2,可得BC=4.
∴函数f(x)的最小正周期为8,即=8,
解得ω=,∴f(x)=2sin(x+),
∴函数f(x)的值域为:;
(2)∵f(x0)=,
∴2sin(x0+)=,
故sin(x0+)=,
∵x0∈(﹣,),∴x0+∈(﹣,),
∴cos(x0+)==
∴f(x0+1)=2sin(x0++)
=2× =