安徽省安庆市洲头乡中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列判断错误的是
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 若为假命题,则p, q均为假命题
D. 若则=1
参考答案:
C
略
2. 若,则的元素个数为( )
0 1 2 3
参考答案:
C
3. 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,则这个数能被 3整除的概率为 ( )
参考答案:
A
4. 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
5. 已知x、y都是区间[0,]内任取的一个实数,则使得y≤sinx的取值的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
考点: 几何概型;定积分.
专题: 概率与统计.
分析: 根据几何概型的概率公式,结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论.
解答: 解:此题为几何概型,事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积,
即,则事件A的概率为,
故选A
点评: 本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积,要求熟练掌握几何概型的求解方法.
6. 已知函数,若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2),则x1?f(x2)的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的零点;函数的值域;不等关系与不等式.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数的解析式画出函数的图象,根据题意数形结合求得x1?f(x2)的取值范围.
【解答】解:①当 0≤x<时,≤f(x)=x+<1.故当x=时,f(x)=.
②当≤x≤1时,≤f(x)=3x2≤3,故当x=时,f(x)=1.
若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2)=k,则 ≤x1 <≤x2 <1,
如图所示:
显然当k=f(x1)=f(x2)=时,x1?f(x2)取得最小值,
此时,x1=,x2=,x1?f(x2)的最小值为 =.
显然,当k=f(x1)=f(x2)趋于1时,x1?f(x2)趋于最大,
此时,x1趋于,x2趋于,x1?f(x2)趋于 =.
故x1?f(x2)的取值范围为 ,
故选C.
【点评】本题考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
7. 函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:A、当时,,所以不正确;B、当时,,所以不正确;D、当时,,所以不正确;综上所述,故选C. 1
考点:函数的图象与性质.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.本题主要是利用特殊点排除法解答的.
8. (5分)圆心角为135°,面积为B的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为A,则A:B等于()
A. 11:8 B. 3:8 C. 8:3 D. 13:8
参考答案:
A
考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 设扇形半径为1,l为扇形弧长,也为圆锥底面周长,由扇形面积公式求得侧面积,再利用展开图的弧长为底面的周长,求得底面半径,进而求底面面积,从而求得表面积,最后两个结果取比即可.
解答: 解:设扇形半径为1,则扇形弧长为1×=,
设围成圆锥的底面半径为r,则2πr=,
∴r=,
扇形的面积B=×1×=,
圆锥的表面积A=B+πr2=+=,
∴A:B=11:8
故选:A.
点评: 本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法,同时,还考查了平面与空间图形的转化能力,属基础题.
9. 设,,,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
A.4 B.3 C.2 D.0
参考答案:
B
因为
所以选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是奇函数,且,若,则_______
参考答案:
-1
略
12. 在二项式的展开式中,只有第4项的系数最大,则展开式中
项的系数为 (用数字作答).
参考答案:
20
因为在二项式的展开式中,只有第4项的系数最大,所以展开式有7项,所以n=6. 所以展开式的通项为
所以展开式中项的系数为故填20.
13. 我们把离心率e=的双曲线﹣=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图是双曲线﹣=1(a>0,b>0,c=)的图象,给出以下几个说法:
①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线;
②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,﹣b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确命题的序号为 .
参考答案:
①②③④
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】利用双曲线的简单性质分别求出离心率,再利用黄金双曲线的定义求解.
【解答】解:①双曲线x2﹣=1中,
∵e==,
∴双曲线x2﹣=1是黄金双曲线,故①正确;
②b2=ac,则e===,
∴e2﹣e﹣1=0,解得e=,或e=(舍),
∴该双曲线是黄金双曲线,故②正确;
③如图,F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,
B1(0,b),B2(0,﹣b),且∠F1B1A2=90°,
∴,即b2+2c2=(a+c)2,
整理,得b2=ac,由②知该双曲线是黄金双曲线,故③正确;
④如图,MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,
∴NF2=OF2,∴,∴b2=ac,
由②知该双曲线是黄金双曲线,故④正确.
故答案为:①②③④.
【点评】本题考查黄金双曲线的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线的性质的灵活运用.
14. 已知正三棱锥,点都在半径为的球面上,若两两互相垂直,则球心到截面的距离为
参考答案:
略
15. (坐标系与参数方程选做题)直线()被圆截得的弦长为_________.
参考答案:
【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】 ∵直线 (t为参数)
∴直线的普通方程为x+y-1=0圆心到直线的距离为d==,
l=2 ,故答案为:.
【思路点拨】先将直线的参数方程化成普通方程,再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可.
16. 如图,观察下列与方格中数字的规律,如果在的方格上仿上面的规则填入数字,则所填入的个数字的总和为 .
参考答案:
略
17. 已知函数向左平移个单位,得到函数,则 ,
的递增区间是 .
参考答案:
,
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (文) (本小题满分12分)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
合计
105
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6号或10号的概率.
(参考公式:,)
参考答案:
19. 已知a,b为常数,a 1 0,函数.
(1)若a = 2,b = 1,求在(0,+∞)内的极值;
(2)① 若a > 0,b > 0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
② 若,,且在区间[1,2]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.
参考答案:
域.
由所有点形成的平面区域为 (如图所示),
略
20. 已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)
∴函数最小正周期是
由,得
所以函数单调递增区间为
(2)由恒成立,得恒成立
∵对任意实数,恒成立
∴
所以t的取值范围为
略
21. 已知椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为
(1)求椭圆方程;
(2)过点M(3,0)作直线与椭圆交于A,B两点,求△OAB面积的最大值.
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】(1)依题意有c=2, =,又a2=b2+c2,联立解出即可得出.
(2)由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0,设直线方程为y=k(x﹣3).与椭圆方程联立可得(1+3k2)y2+6ky+3k2=0,利用根与系数的关系可得:S△OAB=|OM|?|y1﹣y2|=3=3,令3k2+1=t≥1,可得S△OAB=3=3,利用二次函数的单调性即可得出.
【解答】解:(1)依题意有c=2, =,又a2=b2+c2,
可得a2=6,b2=2.
故椭圆方程为=1.
(2)由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0,设直线方程为y=k(x﹣3).
联立方程组,消去x得(1+3k2)y2+6ky+3k2=0,
∴y1+y2=﹣,y1y2=,
∴S△OAB=|OM|?|y1﹣y2|=×3×
=3=3=3,
令3k2+1=t≥1,则S△OAB=3=3≤,当且仅当t=,即k2=,k=时取等号.
∴△OAB面积的最大值为.
22. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求证:f(8)=3 (2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
参考答案:
(1)由题意得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=
f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)
又∵f(2)=1 ∴f(8)=3
(2) 不等式化为f(x)>f(x-2)+3
∵f(8)=3 ∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数
∴解得2
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