河北省沧州市中捷高级中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值为 ( )
参考答案:
B
2. 下列函数中,在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的是( )
A.y=x2 B.y=﹣x3 C.y=﹣lg|x| D.y=2x
参考答案:
C
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定.
【解答】解:四个函数中,A,C是偶函数,B是奇函数,D是非奇非偶函数,
又A,y=x2在(0,+∞)内单调递增,
故选:C.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题.
3. 在中,若,,则的形状为…………………( ▲ )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
参考答案:
C
略
4. 下列四个数中数值最大的是( )
A.1111(2) B.16 C.23(7) D.30(6)
参考答案:
D
【考点】EM:进位制.
【分析】利用进位制转化,再比较大小即可.
【解答】解:对于A,1111(2)=1×1+1×2+1×4+1×8=15,
对于C,23(7)=2×7+3×1=17;
对于D,30(6)=3×6+0×1=18,
∴四个数中数值最大的是18,即30(6).
故选:D.
5. 已知函数, (x∈R),下面结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)在区间上是增函数
参考答案:
D
6. 函数f(x)=sinx﹣cosx的图象( )
A.关于直线x=对称 B.关于直线x=﹣对称
C.关于直线x=对称 D.关于直线x=﹣对称
参考答案:
B
【考点】三角函数的化简求值;正弦函数的图象.
【分析】函数解析式提取,利用两角差的正弦函数公式化简,利用正弦函数图象的性质即可做出判断.
【解答】解:函数y=sinx﹣cosx=sin(x﹣),
∴x﹣=kπ+,k∈Z,得到x=kπ+,k∈Z,
则函数的图象关于直线x=﹣对称.
故选:B.
【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式,考查正弦函数图象的性质,熟练掌握公式是解本题的关键,是基础题.
7. tan45°+sin30°=
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
=,
故选B.
8. 下列函数中与函数是同一个函数的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
9. 过圆x2+y2﹣4x=0外一点P(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,m,n 应满足的关系式为( )
A.(m﹣2)2+n2=4 B.(m+2)2+n2=4 C.(m﹣2)2+n2=8 D.(m+2)2+n2=8
参考答案:
C
【考点】直线与圆的位置关系;两条直线垂直的判定.
【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和半径r,根据题意画出图形,如图所示,证明四边形PQMN为边长为半径r的正方形,则点P到圆心间的距离为正方形对角线的长,由正方形的边长求出对角线的长,然后由P和M的坐标,利用两点间的距离公式表示出线段PM的长,让其值等于对角线的长,即可得到m与n满足的关系式.
【解答】解:把圆的方程化为标准方程:(x﹣2)2+y2=4,
故圆心坐标为(2,0),半径r=2,
根据题意画出图形,如图所示:
连接MQ,MN,得到∠MQP=∠MNP=90°,又∠QPN=90°,
∴PQMN为矩形,又MQ=MN=2,
∴PQMN为边长为2的正方形,
则|PM|=2,即(m﹣2)2+n2=8.
故选C
10. 已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心,且若:则 ( ▲ )
A. B. C. D.不能确定
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. f ( x )是定义域为R的偶函数,且f ( 1 + x ) = f ( 1 – x ),当– 1 ≤ x ≤ 0时,f ( x ) = –x,
则f ( 8.6 ) = 。
参考答案:
0.3
12. 若角的终边落在射线上,则________.
参考答案:
0
13.
参考答案:
8
14. 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移个单位,则所得函数图像对应的解析式为_______
参考答案:
略
15. 将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
。。。。。。。。。。。。。。
则数表中的2008出现在第行.
参考答案:
45
略
16. .如图,为了测量树木AB的高度,在C处测得树顶A的仰角为60°,在D处测得树顶A的仰角为30°,若米,则树高为______米.
参考答案:
【分析】
先计算,再计算
【详解】在处测得树顶的仰角为,在处测得树顶的仰角为
则
在中,
故答案为
【点睛】本题考查了三角函数的应用,也可以用正余弦定理解答.
17. 已知,那么___________
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注,我校对高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.
(1)填写答题卡频率分布表中的空格,补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据;
(2)试估计该年段成绩在段的有多少人;
(3)请你估算该年级的平均分.
参考答案:
(1)
(2)312
(3)81.4
试题分析:(1)频数一列应为:16 50 频率一列为:0.2 0.32
纵轴数据为:0.004 0.016 0.020 0.028 0.032
(2) 在50人中,在的频率为由此可以估计年级段在 的人数有
(3) 设所求平均数为,由频率分布直方图可得:
所以该年级段的平均分数约为81.4分
考点:频数、频率和样本容量
19. 已知函数,
(1)若,求该函数的单调增区间;(2)若,求该函数的最大值,最小值;
参考答案:
20. 已知函数的定义域为A,函数的值域为B,
(1)求集合A、B,并求;
(2)若C=,且,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)∵A== A=…………2分
∵ ∴ ∴B= …………4分
∴= ………………6分
(2)∵C=,且 ∴,……………………10分
21. (13分)如图,在三棱柱ABC﹣A′B′C′中,CC′⊥底面ABC,∠ACB=90°,AC=BC=CC′=a,E是A′C′的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BC⊥平面ACC′A′;
(2)求证:EF∥平面BCC′B′;
(3)设二面角C′﹣AB﹣C的平面角为θ,求tanθ的值.
参考答案:
考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
专题: 空间位置关系与距离;空间角.
分析: (1)根据线面垂直的判定定理证明AC⊥BC,即可证明BC⊥平面ACC′A′;
(2)根据线面平行的判定定理证明EF∥BG即可证明EF∥平面BCC′B′;
(3)根据二面角的定义先求出二面角的平面角,结合三角形的边角关系即可求tanθ的值.
解答: (1)证明:∵CC′⊥底面ABC,
∴CC′⊥BC
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,
又AC∩CC′=C,
∴BC⊥平面ACC′A.
(2)证明:取B′C′的中点G,连接EG、BG,
又E是A′C′的中点,
则EG∥A′B′且等于A′B′的一半.
ABCEFG
∵F是AB中点,
∴BF∥A′B′且等于A′B′的一半,
∴EG与BF平行且相等.
∴四边形EGBF是平行四边形,∴EF∥BG,
又EF?平面BCC′B′,BG?平面BCC′B′,
∴EF∥平面BCC′B′
(3)连接FC、FC′.
∵AC=BC,F是AB中点,
∴CF⊥AB,
又∵CC′⊥底面ABC,
∴CC′⊥AB,
∴AB⊥平面CFC′,
∴C′F⊥AB,
∴∠C′FC为二面角C′﹣AB﹣C的平面角,
即θ=∠C′FC,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=a,F是AB中点,
∴CF=,
又△C′FC是直角三角形,且∠C′CF=90°,CC′=a,
∴tanθ=tan∠C′FC=.
点评: 本题主要考查线面平行和垂直的判定,以及二面角的求解,要求熟练掌握相应的判定定理以及,利用向量法求解二面角的大小.
22. 已知二次函数,,的最小值为.
(1)求函数的解析式;
(2)设,若在上是减函数,求实数的取值范围;
(3)设函数,若此函数在定义域范围内不存在零点,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)设又,,,…4分
(2) ,
① 当时,在[-1,1]上是减函数,∴.…1分
② 当时,对称轴方程为:.
ⅰ)当时,,所以,得;…1分
ⅱ)当时,,所以,得.…1分
综上,.…1分
(3) 函数在定义域内不存在零点,必须且只须有
有解,且无解. …1分
即,且1不在的值域内.
的最小值为,函数的值域为.…1分
,解得.
的取值范围为.…2分(其它解法同样给分)