安徽省安庆市罗岭初级中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,若是y=的零点,且0<t<,则 ( )
A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 等于0 D. 不大于0
参考答案:
B
当时,由得,在同一坐标系中分别作出的图象,由图象可知,当时,,所以此时恒大于0,选B.
2. 平面向量满足,,,,则的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 2
参考答案:
【答案解析】B解析:设,则有x=1,m=2,,得,所以,所以选B.
【思路点拨】在向量的计算中,若直接计算不方便,可考虑建立坐标系,把向量坐标化,利用向量的坐标运算进行解答.
3. (2009湖南卷文)某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为A.14 B.16 C.20 D.48
参考答案:
解析:由间接法得,故选B.
4. 角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan2θ=( )
A.2 B.﹣4 C. D.
参考答案:
D
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式,进行计算即可.
【解答】解:∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,
∴tanθ=2;
∴tan2θ==﹣,
故选D.
5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为( )
A. B. C.0 D.
参考答案:
B
6. 若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 已知向量= ( ▲)
A. B. C.5 D.25
参考答案:
C
8. 如图,该程序运行后输出的结果为( )
A.7 B.11 C.25 D.36
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】经过观察为当型循环结构,按照循环结构进行执行,当不满足执行条件时跳出循环,输出结果即可.
【解答】解:模拟执行程序,可得
k=1,S=0
满足条件k≤10,S=1,k=3
满足条件k≤10,S=4,k=7
满足条件k≤10,S=11,k=15
不满足条件k≤10,退出循环,输出S的值为11.
故选:B.
9. 已知平面向量满足,且||=1,||=2,则||=
A B 3 C 5 D 2
参考答案:
B
由题得
所以||.
故答案为:B
10. 复数的共轭复数的虚部是( )
A. B. C.﹣1 D.1
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出原复数的共轭复数得答案.
【解答】解:∵=,
∴复数的共轭复数为﹣i,虚部为﹣1.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 《九章算术》中研究盈不足问题时,有一道题是“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”题意即为“有厚墙五尺,两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问几天后两鼠相遇?” 赣州古城墙某处厚33尺,两硕鼠按上述方式打洞,相遇时是第____天.(用整数作答)
参考答案:
6
由题意得
12. 在正三角形中,设它的内切圆的半径为,容易求得正三角形的周长,面积,发现.这是一个平面几何中的重要发现.请用类比推理方法猜测对空间正四面体存在类似结论为 .
参考答案:
在正四面体中,设它的内切球的半径为r,容易求得正四面体的表面积,体积,发现.
13. 下列命题中,
① 函数与的图象关于轴对称;
② 设是定义域为R的函数的导函数,当时,令 、
、,则;
③ 函数有,则;
④ 若 ,则函数的图象关于点对称.
其中正确的命题是____________(填序号)
参考答案:
②③④
14. 设表示不超x的最大整数,(如)。对于给定的,定义则________;
当时,函数的值域是_________________________。
参考答案:
【答案】
【解析】当时,当时,
所以故函数的值域是.
15. 已知函数f(x)=lnx,曲线y=g(x)与曲线y=f(x)关于直线y=x对称,若存在一条过原点的直线与曲线y=f(x)和曲线y=g(ax)都相切,则实数a的值为 .
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求得g(x)=ex,设过原点的切线方程为y=kx,与y=lnx的切点为(m,lnm),与y=g(ax)的切点为(n,ean),由导数的几何意义和斜率公式,得到方程组,解方程即可得到所求a的值.
【解答】解:函数f(x)=lnx,曲线y=g(x)与曲线y=f(x)关于直线y=x对称,
可得g(x)=ex,
设过原点的切线方程为y=kx,
与y=lnx的切点为(m,lnm),与y=g(ax)的切点为(n,ean),
由y=lnx的导数y′=,y=eax的导数y′=aeax,
即有k==aean==,
解得m=e,k=,n=e2,an=1,则a==.
故答案为:.
16. 已知向量满足,则的取值范围是 .
参考答案:
[1,2]
17. 下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中为直线,为平面),则此条件是__________.
①;②;③
参考答案:
【分析】
由线面平行的性质和判断可得①;由线面平行的判定定理可得②;由线面垂直的性质和线面平行的判断可得③.
【详解】①,或,由;
②,,;
③,或,由.
故答案为:.
【点睛】本题考查空间线线、线面的位置关系,考查线面平行的判定,考查推理能力,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;
(3)求平面与平面所成锐二面角的大小.
参考答案:
解:(1)解:取CE中点P,连结FP、BP,∵F为CD的中点,∴FP//DE,且FP=
又AB//DE,且AB=∴AB//FP,且AB=FP,∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP-------2分
又∵AF平面BCE,BP平面BCE,∴AF//平面BCE------4分
(2)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD ,∵AB⊥平面ACD,DE//AB,∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,
∴DE⊥AF,又AF⊥CD,CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE------6分
又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE--------8分
(3)法一、由(2),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),
建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,则C(0,—1,0),---9分
------11分
显然,为平面ACD的法向量,设面BCE与面ACD所
成锐二面角为则.
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°. -----14分
法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.
则.由AB是的中位线,
则.在,
.,又.
. -----12分
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°---14分
19. (几何证明选讲)如图,△ABC是的内接三角形,PA是的切线,PB交AC于点E,交于点D,若PA=PE,,PD=1,PB=9,则EC=
参考答案:
略
20. 设椭圆的离心率为,椭圆C上一点M到左右两个焦点F1,F2的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过F2的直线与椭圆C交于A,B两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的最大值.
参考答案:
(1)依题意,,,因为,所以,,
所以椭圆方程为;
(2)设,,,
则由,可得,
即,,
又因为,所以四边形是平行四边形,设平面四边形的面积为,则,
设,则,所以,因为,所以,所以,所以四边形面积的最大值为.
21. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和
平均分;
(Ⅲ) 从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,
求他们在同一分数段的概率.
参考答案:
解析:(Ⅰ)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:
直方图如右所示
(Ⅱ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,
频率和为
所以,抽样学生成绩的合格率是%
利用组中值估算抽样学生的平均分
==71
估计这次考试的平均分是71分
(Ⅲ), ,”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。
22. 已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E.
(I)求证:AP⊥平面BDE;
(II) 求证:平面BDE⊥平面BDF;
参考答案:
(Ⅰ)∵PC⊥底面ABC,BD?底面ABC,
∴PC⊥BD;
又AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥AC,PC∩AC=C,
∴BD⊥平面PAC,PA?平面PAC,
∴PA⊥BD,又DE⊥AP,BD∩DE=E,
∴AP⊥平面BDE;
(Ⅱ)由AP⊥平面BDE知,AP⊥DE;又D、F分别为AC、PC的中点,
∴DF是△PAC的中位线,∴DF∥AP,∴DF⊥DE,即∠EDF=90°,
由BD⊥平面PAC可知,DE⊥BD,DF⊥BD,∠EDF为平面BDE与平面BDF的二面角,又∠EDF=90°,
∴平面BDE⊥平面BDF.