山东省烟台市莱州东周中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】两条平行直线间的距离.
【专题】计算题;直线与圆.
【分析】根据两条直线平行的条件,建立关于m的等式解出m=2.再将两条直线化成x、y的系数相同,利用两条平行直线间的距离公式加以计算,可得答案.
【解答】解:∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行,
∴,解得m=2.
因此,两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0,
即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0.
∴两条直线之间的距离为d===.
故选:D
【点评】本题已知两条直线互相平行,求参数m的值并求两条直线的距离.着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识,属于基础题.
2. 设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可.
【解答】解:由2x2+x﹣1>0,可知x<﹣1或x>;
所以当“x>”?“2x2+x﹣1>0”;
但是“2x2+x﹣1>0”推不出“x>”.
所以“x>”是“2x2+x﹣1>0”的充分而不必要条件.
故选A.
【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次不等式的解法,考查计算能力.
3. 在下列结论中,正确的是 ( )
①为真是为真的充分不必要条件
②为假是为真的充分不必要条件
③为真是为假的必要不充分条件
④为真是为假的必要不充分条件
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
参考答案:
D
4. 设,若,则等于
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 数列前n项的和为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
6. 已知向量,,且与互相垂直,则等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
7. 如图,已知椭圆,双曲线(a>0,b>0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则C2的离心率为( )
A.5 B. C. D.
参考答案:
C
8. 设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B.y=±2x C. D.
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意知,因为双曲线的焦点在x轴上,由此可知渐近线方程为.
【解答】解:由已知得到,
因为双曲线的焦点在x轴上,
故渐近线方程为;
故选C.
【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用.考查了同学们的运算能力和推理能力.
9. 已知△ABC中,a=4,,∠A=30°,则∠B等于
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
参考答案:
D
已知△ABC中,a=4,,∠A=30°,则由正弦定理得,
,所以∠B=60°或120°,故选择D.
10.
参考答案:
解析:因为对任意x恒成立,所以
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列中, , 是方程的两个根,则数列的前项和 _________ .
参考答案:
略
12. 根据如图所示的程序框图,若输出的值为4,则输入的值为______________.
参考答案:
或1
13. 1-3+5-7+9-11+…-19=_____.
参考答案:
-10
14. 已知 ,且,则=
参考答案:
4
15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为正常数,,则动点P的轨迹为椭圆;
②双曲线与椭圆有相同的焦点;
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为.
其中真命题的序号为 _________.
参考答案:
②③④
略
16. 某人要测量一座山的高度,他在山底所在的水平面上,选取在同一直线上的三点进行测量。他在A点测得山顶的仰角是,在B点测得山顶的仰角是,在C点测得山顶的仰角是,若,则这座山的高度为 ___ (结果用表示)。
参考答案:
17. 将曲线 ,上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的倍后,得到的曲线的焦点坐标为 .
参考答案:
(±,0)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某高校进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查,开通“微博”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,其中在[30,35)岁,[35,40)岁年龄段人数中,“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.
(1)求[30,35)岁与[35,40)岁年龄段“时尚族”的人数;
(2)从[30,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中,采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛,其中两人作为领队.求领队的两人年龄都在[30,45)岁内的概率。
参考答案:
(1)岁的人数为.
岁的人数为.
(2)由(1)知岁中抽4人,记为、、、,
岁中抽2人,记为、,
则领队两人是、、、、、、、、、、、、、、共l5种可能,其中两人都在岁内的有6种,所以所求概率为.
19. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.
(1)求的值;
(2)若cos B=,b=2,求△ABC的面积S.
参考答案:
略
20. 解不等式:。
参考答案:
解:由 得或 ①
由 得 ②
由①、②得 或
不等式的解集为
略
21. 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,若直线与轴交于点,与椭圆交于不同的两点,且。(14分)
(1) 求椭圆的方程;
(2) 求实数的取值范围。
参考答案:
(1)解:∵a=1,∴
(2)当K不存在时,不符题意,K=0时也不符题意 设l:y-m=kx ∴y=kx+m
∴
消去得
略
22. 已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线l1:x﹣y﹣2=0相切
(Ⅰ)求直线l2:4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长.
(Ⅱ)过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N,求直线MN的方程
(Ⅲ) 若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截距的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)由直线与圆相交的性质可知,()2=r2﹣d2,要求AB,只要求解圆心到直线4x﹣3y+5=0的距离.即可求直线l2:4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长.
(Ⅱ)求出圆C的方程以及以G(1,3)为圆心,QM为半径的圆,利用圆系方程求直线MN的方程.
(Ⅲ)设直线l的方程为:y=﹣x+b联立x2+y2=4,设直线l与圆的交点P(x1,y1),Q(x2,y2),利用△>0,以及韦达定理,通过∠POQ为钝角,求出﹣2<b<2,当与反向共线时,直线y=﹣x+b过原点,此时b=0,不满足题意,即可得到结果.
【解答】解:(Ⅰ)由题意得:圆心(0,0)到直线l1:x﹣y﹣2的距离为圆的半径,
r==2,所以圆C的标准方程为:x2+y2=4,…
所以圆心到直线l2的距离d= …
∴…
(Ⅱ)因为点G(1,3),所以,
所以以G点为圆心,线段GM长为半径的圆G方程:(x﹣1)2+(y﹣3)2=6 (1)
又圆C方程为:x2+y2=4 (2),由(1)﹣(2)得直线MN方程:x+3y﹣4=0 …
(Ⅲ)设直线l的方程为:y=﹣x+b联立x2+y2=4得:2x2﹣2bx+b2﹣4=0,
设直线l与圆的交点P(x1,y1),Q(x2,y2),
由△=(﹣2b)2﹣8(b2﹣4)>0,得b2<8,x1+x2=b,(3)…
因为∠POQ为钝角,所以,
即满足x1x2+y1y2<0,且与不是反向共线,
又y1=﹣x1+b,y2=﹣x2+b所以(4)
由(3)(4)得b2<4,满足△>0,即﹣2<b<2,…
当与反向共线时,直线y=﹣x+b过原点,此时b=0,不满足题意,
故直线l纵截距的取值范围是﹣2<b<2,且b≠0 …