河北省石家庄市韩家楼中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中,在区间为增函数的是( )
. . . .[来源:学科网]
参考答案:
A
略
2. 经过空间任意三点作平面 ( )
A.只有一个 B.可作二个 C.可作无数多个 D.只有一个或有无数多个
参考答案:
D
3. 若向量与相互垂直,且长度相等,则a+b的值是( )
A、 B、 C、 D、或
参考答案:
D
4. 函数的图象是把y=3cos3x的图象平移而得,平移方法是[ ]
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度;
参考答案:
B
5. 已知圆C:(x+1)2+y2=32,直线l与一、三象限的角平分线垂直,且圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则直线l的方程为( )
A.y=﹣x﹣5 B.y=﹣x+3
C.y=﹣x﹣5或y=﹣x+3 D.不能确定
参考答案:
C
【分析】设直线l的方程为y=﹣x+b,圆C的圆心C(﹣1,0),半径r=4,由圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,得到圆心C(﹣1,0)到直线l:y=﹣x+b的距离为2,由此能求出直线l的方程.
【解答】解:∵直线l与一、三象限的角平分线垂直,
∴设直线l的方程为y=﹣x+b,
圆C:(x+1)2+y2=32的圆心C(﹣1,0),半径r=4,
∵圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,
∴圆心C(﹣1,0)到直线l:y=﹣x+b的距离为2,
∴d==2,解得b=3或b=﹣5,
∴直线l的方程为y=﹣x﹣5或y=﹣x+3.
故选:C.
6. 在△ABC中,,则B的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
参考答案:
B
【分析】
设(),利用余弦定理建立关于x的函数,从而求出B的范围.
【详解】解:设,则,
由余弦定理可得,,
根据余弦函数的性质可知,,故选B.
【点睛】本题考查三角形已知两边求角范围,余弦定理的应用,三角形的构成条件,基本不等式,考查学生的转化能力和运算能力,属于中档题.
7. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=,.若sin(A-B)+sinC=2sin2B,则a+b=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2
参考答案:
B
【分析】
由正弦定理和,可得,C是三角形的内角,可求出C,根据三角形内角和定理,利用二角和与差的正弦公式以及二倍角的正弦公式,对sin(A-B)+sinC=2sin2B,进行化简,得到,或,分类讨论,求出a+b的值.
【详解】由正弦定理可知: ,所以有
,而是三角形的内角,故,,所以,
sin(A-B)+sinC=2sin2B
当时,,,,
,
当时,由正弦定理可知: ,所以有,
由余弦定理可知: ,故本题选B.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理。
8. 设全集,集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 如图所示的直观图的平面图形ABCD是( )
A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形
参考答案:
B
【考点】平面图形的直观图.
【专题】常规题型.
【分析】由直观图可知,BC,AD两条边与横轴平行且不等,边AB与纵轴平行,得到AB与两条相邻的边之间是垂直关系,而另外一条边CD不和上下两条边垂直,得到平面图形是一个直角梯形.
【解答】解:根据直观图可知,BC,AD两条边与横轴平行且不等,
边AB与纵轴平行,
∴AB⊥AD,AB⊥BC
∴平面图形ABCD是一个直角梯形,
故选B.
【点评】本题考查平面图形的直观图,考查有直观图得到平面图形,考查画直观图要注意到两条坐标轴之间的关系,本题是一个基础题.
10. 程序框图符号“a=10”可用于( )
A. 输出a=10 B. 赋值a=10 C. 判断a=10 D. 输入a=1
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则__________.
参考答案:
分析:首先根据等差数列的性质得到,利用分数的性质,将项的比值转化为和的比值,从而求得结果.
详解:根据题意有,所以答案是.
点睛:该题考查的是有关等差数列的性质的问题,将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值,结论为,从而求得结果.
12. 若,,则sin2θ= .
参考答案:
考点:
二倍角的正弦.
专题:
三角函数的求值.
分析:
根据角的范围和平方关系,求出cosθ的值,再由倍角的正弦公式求出sin2θ.
解答:
解:∵,,
∴cosθ==﹣,
则sin2θ=2sinθcosθ=,
故答案为:.
点评:
本题考查了同角三角函数的平方关系和倍角的正弦公式,关键是熟练掌握公式,直接代入公式求解,难度不大.
13. 国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一书共纳税420元,这个人的稿费为____元.
参考答案:
3800
14. 若两个向量的夹角为,则称向量为“向量积”,其长度;已知,则____________。
参考答案:
3
略
15. 矩形中,,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积为
参考答案:
16. 在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若b·cosC=c·cosB,且cosA=,则cosB的值为_____.
参考答案:
【分析】
利用余弦定理表示出与,代入已知等式中,整理得到,再利用余弦定理表示出,将及的值代入用表示出,将表示出的与代入中计算,即可求出值.
【详解】由题意,由余弦定理得,
代入,得,整理得,
所以,即,
整理得,即,则,
故答案为:.
【点睛】本题考查了解三角形的综合应用,高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
17. 在△ABC中,已知,则AB的长为 ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 计算:(化到最简形式)
(1);
(2).
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用有理数指数幂的性质、运算法则求解.
(2)利用对数性质、运算法则、换底公式求解.
【解答】解:(1)
=4﹣1+3×4+8
=23.
(2)
=
=
=log39﹣log38+log38+2
=4.
【点评】本题考查对数式、指数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意有理数指数幂、对数性质、运算法则、换底公式的合理运用.
19. 已知向量满足,,.
(1)若,求的坐标;
(2)若,求与的夹角.
参考答案:
(1) 或.(2) .
【分析】
(1)本题可以设出向量的坐标,然后根据以及分别列出等式,通过计算即可得出结果;
(2)首先可以通过以及计算出,再根据、以及向量的数量积公式即可得出结果。
【详解】(1)设
因为,所以,①
因为,所以,②
联立①②,解得,或.
故或.
(2)因为,所以,即,
又因为,所以,所以.
因为,所以.
因为,所以与的夹角为.
20. 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
参考答案:
21. 已知函数f(x)=x2,g(x)=ax+3(a∈R).
(1)记函数F(x)=f(x)﹣g(x),
(i)判断函数F(x)的零点个数;
(ii)若函数|F(x)|在[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.
(2)设.若对于函数y=G(x)图象上异于原点O的任意一点P,在函数y=G(x)图象上总存在另一点Q,使得,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.
参考答案:
解:(1)(i)F(x)=x2﹣ax﹣3
∵∴函数F(x)有2个零点.
(ii) ,当a≤0时,图象为:
当a>0时,图象为:
由题意.解得﹣2≤a≤0
(2),
由题意易知P,Q两点在y轴的两侧,不妨设P点坐标在y轴的左侧,设,
当﹣1<x1<0,则,恒成立,
当x1≤﹣1,则设点Q(﹣x1,﹣ax1+3),恒成立,
∴ax1>2恒成立,∵x1≤﹣1,
∴恒成立,只要∴,
∵x1≤﹣1,∴,
∴a<﹣2.
略
22. 在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3。
(Ⅰ)求∠ADC的大小;
(Ⅱ)求AB的长。
参考答案:
(I)在△ADC中,
由余弦定理,得cos∠ADC=
。 2分
又∠ADC(0,180°),
所以∠ADC=120°。 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠ADC=120°,
所以在△ABD中,∠ADB=60°。
由正弦定理,得, 5分
所以。 7分