2022-2023学年江苏省苏州市木渎实验中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
参考答案：
C
由已知，得，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，是方程的两根，且，
∴不等式的解集是．
故选．
2. 已知二面角的大小为，若平面内一点到平面的距离为，则在平面内的射影到平面的距离是（ ）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
略
3. 利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C.项 D．项
参考答案：
D
时左面为，时左面为，所以增加的项数为
4. 已知函数，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
5. 下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. 1 D.
参考答案：
C
略
6. 如图，在边长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足，则线段B1P的长度的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
参考答案：
D
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据得出、满足的关系式，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质求得的最大值.
【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、，设点，
，，
，，得，
由，得，得，
，
，当时，取得最大值.
故选：D.
7. 点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q的坐标为
A.( B.（ C.（ D.（
参考答案：
A
8. 如果直线l经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且直线l不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[0，2] B．[0，1] C．[0，] D．[0，]
参考答案：
A
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】圆的方程可知圆心（1，2），直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，直线过圆心，斜率最大值是2，可知答案．
【解答】解：由圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限，
斜率最大值是2，如图．
那么l的斜率的取值范围是[0，2]
故答案为：[0，2]．
【点评】本题采用数形结合，排除法即可解出结果．是基础题．
9. 已知直线与圆交于不同的两点，为坐标原点，，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
10. 已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2} B．{x|x＜﹣或x＞﹣}
C．{x|﹣＜x＜﹣} D．{x|﹣3＜x＜﹣2}
参考答案：
C
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再代入不等式bx2﹣5x+a＞0求解集即可．
【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，
∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3，
∴，
解得a=﹣1，b=﹣6；
∴不等式bx2﹣5x+a＞0为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，
即6x2+5x+1＜0，
解得﹣＜x＜﹣；
∴不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是{x|﹣＜x＜﹣}．
故选：C．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程表示椭圆，则实数m的取值范围是 ▲ ．
参考答案：
∵，
∴，
解得-3＜m＜5，且m≠1，
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，易错点忽视分母相等时为圆．
12. （x2+x+2）5的展开式中，x7的系数为 ．
参考答案：
50
【考点】二项式定理的应用．
【分析】根据（x2+x+2）5 的展开式的含x7的项由两类构成，然后求出各类的含x7的项，再将各个项加起来，即可得到所求的项的系数．
【解答】解：（x2+x+2）5 的展开式的含x7的项由5个括号中的两个括号出x2，三个括号出x，
或三个括号出x2，一个括号出x，一个括号出2，
故含x7的项是C52 （x2）2 x3 +C53（x2）3 C21 ?x?2=10x7 +40x7=50x7，
故含x7的项的系数是50，
故答案为：50．
13. 复数（1﹣i）（2+3i）（i为虚数单位）的实部是 _________ ．
参考答案：
5
14. 若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为_____
参考答案：
15. 为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是 .
参考答案：
略
16. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是 ．
参考答案：
5
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】直线与圆．
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值．
【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA|?|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
17. 设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
参考答案：
a>c>b
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某银行准备新设一种定期存款业务,经预测:存款量与存款率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,又银行吸收的存款能全部放贷出去.
(1)若存款利率为x,x∈(0,0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式;(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大效益?
参考答案：
思路分析:根据题意列出g(x)及h(x)的函数关系式,由收益=贷款收益-存款利息,建立收益与贷款收益、支付存款利息间的关系,从而利用导数求最值.
解:(1)由题意,存款量g(x)=kx2.
银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx3.
(2)设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx2-kx3,
y′=0.096kx-3kx2,令y′=0,得x=0(舍去)或x=0.032.
当x∈(0,0.032)时,y′>0;当x∈(0.032,0.048)时,y′<0.
所以当x=0.032时,y取得最大值,
即当存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益.
略
19. (本小题满分15分)
求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
参考答案：
证明： ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ………6′
………15′
20. （12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。
参考答案：
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅰ）
————————4分
（Ⅱ）
,
————————————————8分
（Ⅲ），故的分布列
,
,
所以——————————12分
21. 已知函数f（x）=lnx．
（1）证明：曲线y=f（x）与曲线y=x﹣1有唯一公共点；
（2）若f（x）的反函数为g（x），设m＜n，比较与的大小，并说明理由．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）问题转化为求函数φ（x）=lnx﹣x+1零点的个数，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的零点即可；
（2）求出g（x）的解析式，通过作差法判断即可．
【解答】解：（1）曲线y=f（x）与曲线y=x﹣1公共点的个数等于函数φ（x）=lnx﹣x+1零点的个数，
∵φ（1）=ln1﹣1+1=0，故φ（x）存在零点x=1，
又φ′（x）=﹣1=，（x＞0），可得：
0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，
x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，
故x=1时，φ（x）有极大值也是最大值为φ（1）=0，
即φ（x）≤0恒成立，
故φ（x）存在唯一零点x=1，
∴曲线y=f（x）与曲线y=x﹣1有唯一公共点（1，0）；
（2）由题意得g（x）=ex，
﹣g（）=﹣= [﹣﹣（n﹣m）]
设函数v（x）=ex﹣﹣2x，（x≥0），
v′（x）=ex+﹣2≥2﹣2=0，
故v′（x）≥0（仅当x=0时“=”成立），因此v（x）递增，
x＞0时，v（x）＞v（0）=0，
另x=，
可得﹣﹣（n﹣m）＞0，
故＞．
22. 已知等差数列的首项为，公差为b，且不等式的解集
为 ．
（1）求数列的通项公式及前n项和公式 ；
（2）求数列的前n项和Tn .
参考答案：
解析：（1）∵不等式可转化为，
所给条件表明：的解集为，根据不等式解集的意义 可知：方程的两根为、．
利用韦达定理不难得出．
由此知，
（2）令
则
=
略