2022-2023学年湖北省黄冈市中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若a>l,设函数f(x)=ax+x﹣4的零点为m,函数g(x)=logax+x﹣4的零点为n,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
参考答案:
A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数的零点.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】构建函数F(x)=ax,G(x)=logax,h(x)=4﹣x,则h(x)与F(x),G(x)的交点A,B的横坐标分别为m、n,注意到F(x)=ax,G(x)=logax,关于直线y=x对称,可得m+n=4,再用“1”的代换,利用基本不等式,即可得出结论.
【解答】解:由题意,构建函数F(x)=ax,G(x)=logax,h(x)=4﹣x,
则h(x)与F(x),G(x)的交点A,B的横坐标分别为m、n,
注意到F(x)=ax,G(x)=logax,关于直线y=x对称,可以知道A,B关于y=x对称,
由于y=x与y=4﹣x交点的横坐标为2,
∴m+n=4,
∴=()(m+n)=(2+)≥=1,当且仅当m=n时取等号,
∴的最小值为1.
故选A.
【点评】本题考查函数的零点,考查基本不等式的运用,考查学生分析转化问题的能力,求出m+n=4,正确运用基本不等式是关键.
2. 已知向量,若,则与的夹角
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
C
3. 一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.6 B. C. 7 D.
参考答案:
D
由题意,该几何体是由一个边长为的正方体截去一个底面积为,高为的一个三棱锥所得的组合体,如图,所以,选D.
4. 函数在其定义域上是
A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数
C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数
参考答案:
C
略
5. 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个可能取值为( )
A. B. C.0 D.
参考答案:
B
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,求得φ的一个可能取值.
【解答】解:将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位,
可得到的函数y=sin[2(x+)+φ)]=sin(2x++φ)的图象,
再根据所得图象关于y轴对称,可得+φ=kπ+,即φ=kπ+,k∈z,
则φ的一个可能取值为,
故选:B.
6. (2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7,定点M的坐标为(1,-2),若N∈Ω,O为坐标原点,则的最小值是( )
A.-8 B.-7
C.-6 D.-4
参考答案:
B
依题意,画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)
可知其围成的区域是等腰直角三角形,面积为8,由直线y=kx+2恒过点B(0,2),且原点的坐标恒满足y-kx≤2,
当k=0时,y≤2,此时平面区域Ω的面积为6,由于6<7,由此可得k<0.
即z取得最小值-7,故选B.
7. 在极坐标系中,与圆相切的一条直线方程为( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
8. 已知双曲线(,)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,A为右顶点,P为双曲线左支上一点,若存在最小值为12a,则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
设,则,
当且仅当m=3a,取等号,,
设双曲线一三象限的渐近线倾斜角为,则,
∴双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是.
本题选择A选项.
9. 已知,, ,那么
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设实数满足约束条件,若目标函数的最大值为8,则的最小值为
参考答案:
4
12. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c给出下列结论:
①若A>B>C,则sinA>sinB>sinC;
②若 ,则△ABC为等边三角形;
③若a= 40,b=20,B= ,则△ABC必有两解。其中,结论正确的编号为____(写出所有正确结论的编号)
参考答案:
略
13. 已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且p是q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是
参考答案:
略
14. 某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量(毫克/毫升)随时间(小时)变化的规律近似满足表达式.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要
过 小时后才能开车(不足1小时部分算1小时,结果精确到1小时).
参考答案:
4
略
15. 展开式中系数为________;
参考答案:
-5
16. 曲线:(为参数),若以点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则该曲线的极坐标方程是 .
参考答案:
17. 已知函数,若函数的图象关于点对称,且,则=___________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图所示,已知与相切,为切点,过点的割线交圆于两点,弦相交于点为上一点,且.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
参考答案:
(1)详见解析(2)
试题解析:证:(1)∵,
∴,∴,
又∵,∴,∴,
∴,∴,∴,
又∵,∴..........................5分
(2)∵,∴,
∵,∴,
由(1)可知:,解得,
∴,∴是的切线,∴,
∴,解得.....................................10分
考点:三角形相似,相交弦定理,切割线定理
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.
2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
19. 已知椭圆C的左右顶点A1,A2恰好是双曲线的左右焦点,点P(1,)在椭圆上.
(I)求椭圆C的标准方程;
(1I)直线与椭圆C交于不同的两点M,N,若线段MN的垂直平分线恒过定点B(0,一1),求实数m的取值范围.
参考答案:
略
20. 已知函数
(1)若曲线处的切线平行,求a的值;
(2)求的单调区间;
(3设是否存在实数a,对均成立;若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
参考答案:
21. (本小题满分14分)
已知函数(是自然对数的底数).
(I)若函数在点处的切线方程为,求函数的单调区间;
(II)当时,若对于任意都有恒成立,求实数m的最小值;
(III)当时,设函数,是否存在实数,使得?若存在,求出t的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案:
(I)由题意得,
22. (本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的极值;
(Ⅲ)对恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
(Ⅰ)函数的定义域为, ……………1分
, ……………2分
,, ……………3分
曲线在点处的切线方程为,
即, ……………4分
(Ⅱ)令,得, ……………5分
列表:
-
0
+
↘
↗
……………7分
函数的极小值为, ……………8分
(Ⅲ)依题意对恒成立
等价于在上恒成立
可得在上恒成立, ……………10分
令
……………11分
令,得
列表:
-
0
+
↘
↗
函数的最小值为, ……………13分
根据题意,. ……………14分