浙江省绍兴市诸暨海亮中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A={x|x=3n+1,n∈N},B={5,7,9,11,13},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
参考答案:
D
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.
【解答】解:A={x|x=3n+1,x∈N}={1,4,7,10,13,16…},
B={5,7,9,11,13},
则集合A∩B={7,13},
故对应的元素个数为2个,
故选:D.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2. 已知函数则的值为( )
A. B.4 C.2 D.
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用分段函数的性质求解.
【解答】解:∵函数,
∴f()==﹣3,
=f(﹣3)=2﹣3=.
故选:A.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题.
3. 如图,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
C
【考点】LM:异面直线及其所成的角.
【分析】本题求解宜用向量法来做,以D为坐标原点,建立空间坐标系,求出两直线的方向向量,利用数量积公式求夹角即可
【解答】解:如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在线为y轴,DP所在线为z轴,建立空间坐标系,
∵点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,令PD=AD=1
∴A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0)
∴=(1,0,﹣1),=(﹣1,﹣1,0)
∴cosθ==
故两向量夹角的余弦值为,即两直线PA与BD所成角的度数为60°.
故选C
4. 正三棱锥的底面边长为6,高为,则这个三棱锥的全面积为 ( )
(A)9 (B)18 (C)9(+)(D)
参考答案:
C
略
5. 如图,某几何体的正视图和俯视图是两个半径相等的圆,侧视图中两条半径相互垂直.若该几何体的表面积是4πa2,则它的体积是( )
A. B.πa3 C. D.
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中正视图和俯视图是两个半径相等的圆,侧视图中两条半径相互垂直.可得该几何体是四分之三球,进而得到答案.
【解答】解:由已知中正视图和俯视图是两个半径相等的圆,侧视图中两条半径相互垂直.
可得该几何体是四分之三球,
设球半径为R,则3πR2+2×πR2=4πR2=4πa2,
即R=a,
故它的体积是:V==πa3
故选:B
6. 为了得到函数的图像,需要把函数图像上的所有点( )
A.横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度
B.横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的倍,再向左平移个单位长度
参考答案:
A
7. 是成等比数列的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
解析:不一定等比
如
若成等比数列
则
选D
8. 设常数,集合,.若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 直线 y + 3 = 0的倾斜角是( )
(A)0° (B)45° (C)90° (D)不存在
参考答案:
A
10. 若函数,且的图象过第一、二、三象限,则有( )
A. B. C., D.,
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若sinα<0,且tanα>0,则α是第__________象限角.
参考答案:
三
考点:象限角、轴线角.
专题:计算题.
分析:由于sinα<0,故α可能是第三或第四象限角;由于tanα>0,故α可能是第一或第三象限角;故当sinα<0且tanα>0时,α是第三象限角.
解答: 解:由于sinα<0,故α可能是第三或第四象限角;
由于tanα>0,故α可能是第一或第三象限角.
由于 sinα<0 且tanα>0,故α是第三象限角,
故答案为:三.
点评:本题考查象限角的定义,三角函数在各个象限中的符号,得到sinα<0时,α是第三或第四象限角;tanα>0时,α是第一或第三象限角,是解题的关键
12. 若,且,则__________
参考答案:
13. 函数y=的值域是 .
参考答案:
(﹣1,)
【考点】函数的值域.
【分析】分离常数后,根据指数函数的值域即可求函数y的范围.
【解答】解:函数y===﹣1.
∵2x+3>3,
∴0<.
∴函数y=的值域是(﹣1,)
故答案为(﹣1,)
14. 已知直线y=kx﹣2k+1与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=3相交于M,N两点,则|MN|等于 .
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据已知可得直线恒过圆心,则|MN|即为直径.
【解答】解:直线y=kx﹣2k+1恒过(2,1)点,
即直线y=kx﹣2k+1恒过圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=3的圆心,
故|MN|=2R=;
故答案为:
15. 某运动会开了n天 ( n > 1 ),共发出m枚奖牌:第一天发出1枚加上余下的,第二天发出2枚加上余下的;如此持续了( n – 1 )天,第n天发出n枚。该运动会开了________天,共发了____________枚奖牌。
参考答案:
6,36;
16. 设,,,则从大到小的顺序为 .
参考答案:
略
17. 已知全集A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},则A∩B= .
参考答案:
{70}
【考点】交集及其运算.
【分析】由A与B,求出两集合的交集即可.
【解答】解:∵A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},
∴A∩B={70}.
故答案为:{70}
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知为常数,,函数,且方程有等根.
(1)求的解析式及值域;
(2)设集合,,若,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使的定义域和值域分别为和?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1), …………1分
又方程,即,即有等根,
,即,从而, …………2分 . …………3分
又,值域为 …………4分
(2),
①当时,,此时,解得 …………5分
②当时,设,对称轴,要,只需,…………7分
解得, …………8分
综合①②,得. …………9分
(3),
又对称轴,在是增函数 …………10分
…………12分
解得,. …………13分
∴存在,使的定义域和值域分别为和. …………14分
19. (12分)在△OAB中,=,=,若?=|﹣|=2:
(1)求||2+||2的值;
(2)若(+)(﹣)=0,=3,=2,求?的值.
参考答案:
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: (1)运用向量数量积的性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到;
(2)通过条件(+)?(﹣)=0,化简整理可得||=||,由(1)的结论即有△OAB为正三角形,再由向量垂直的条件,即可计算得到所求值.
解答: (1)由于|﹣|=2,则|﹣|2=()2=+﹣2=4,
又=2,
则有||2+||2=+=8;
(2)由(+)?(﹣)=0,
则+﹣﹣=||﹣||+﹣=(||﹣||)(1+)=0,
则有||=||,由(1)的结论得||=||=2,
又||=||=2,所以△OAB为正三角形,
则=(+)?,
因为N为AB的中点,ON⊥AB,
从而=0,||=×2=,
则有?=()2=3.
点评: 本题考查向量的数量积的性质,考查正三角形的性质,考查运算能力,运用向量垂直的条件是解题的关键.
20. 已知,.
(1)求的最小值
(2)证明:.
参考答案:
(1)3; (2)证明见解析.
【试题分析】(1)利用柯西不等式求得最小值为.(2)将不等式的右边变为,用基本不等式可求得右边的最小值为,由此证得不等式成立.
【试题解析】
(1)因为,,
所以,即,
当且仅当时等号成立,此时取得最小值3.
(2)
.
21. (12分)已知圆C:=0,
(1)已知不过原点的直线与圆C相切,且在轴,轴上的截距相等,求直线的方程;
(2)求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程.
参考答案:
(1)∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零,
设直线方程为.1分
∴圆心C(-1,2)到切线的距离等于圆半径,3分
即= .4分
∴或5分
所求切线方程为:或 ………………6分
(2)当直线斜率不存在时,直线即为y轴,此时,交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2,符合
故直线.8分
当直线斜率存在时,设直线方程为,即
由已知得,圆心到直线的距离为1,.9分
则,.11分
直线方程为
综上,直线方程为,.12分
22. (本题满分12分)
(1)求值:sin30°+cos60°-tan45°+sin90°+cos180°;
(2)化简:.
参考答案: