山东省枣庄市市第四十中学2022年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合,,则A∩B为( )
A.[0,3) B.(1,3) C.(0,1] D.
参考答案:
C
2. 已知集合,,则( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
C
依题意,∴,故选C.
3. 已知等比数列的前项和为,满足,则此数列的公比为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:由可得,即,故应选B.
考点:等比数列的有关知识及运用.
4. 已知直线,有下面四个命题: (1);(2);(3);(4)
其中正确的命题 ( )
A.(1)(2) B.(2)(4) C.(1)(3) D.(3)(4)
参考答案:
C
略
5. 如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E为CC1的中点,那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】由正方体的结构特征,我们取BC的中点F,连接EF,OF,BC1,可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角,解△OEF即可得到答案.
【解答】解:取BC的中点F,连接EF,OF,BC1,如图所示:
∵E为CC1的中点,EF∥BC1∥AD1,
故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,
则在△OEF中,EF=,OE=
故cos∠OEF==
故选D
6. “x=2kπ+(k∈Z)”是“tan x=1”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
7. 已知函数f(x)=,则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是( )(注:e为自然对数的底数)
A.(0,) B.[,) C.(0,) D.[,e]
参考答案:
B
【考点】分段函数的应用.
【分析】由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围.
【解答】解:∵方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,
∴y=f(x)与y=ax有2个交点,
又∵a表示直线y=ax的斜率,
∴y′=,
设切点为(x0,y0),k=,
∴切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),
而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=,
∴直线l1的斜率为,
又∵直线l2与y=x+1平行,
∴直线l2的斜率为,
∴实数a的取值范围是[,).
故选:B.
8. 已知函数向左平移个单位后,得到函数,下列关于的说法正确的是( )
A、图象关于点中心对称 B、图象关于轴对称
C、在区间单调递增 D、在单调递减
参考答案:
C
略
9. 已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,,则=( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a=0,然后利用对数的运算法则进行转化求解即可.
【解答】解:∵函数f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,即f(0)=1﹣a=0,则a=1,
∵当x≥0时,,
∴=f(﹣log38)=﹣f(log38)=﹣()=﹣(﹣1)=,
故选:B
【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键.
10. 抛物线的准线经过双曲线的左焦点,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是 .
参考答案:
5
设,,则,又为等差数列,所以,整理得,代入整理得,,解得,所以双曲线的离心率为。
12. 已知点P(a,b)在函数y=上,且a>1,b>1,则alnb的最大值为 .
参考答案:
e
【考点】对数的运算性质;基本不等式.
【分析】点P(a,b)在函数y=上,且a>1,b>1,可得,两边取对数可得lna+lnb=2.(lna>0,lnb>0).令t=alnb,可得lnt=lna?lnb,利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:点P(a,b)在函数y=上,且a>1,b>1,∴,可得lnb=2﹣lna,即lna+lnb=2.(lna>0,lnb>0).
令t=alnb,∴lnt=lna?lnb≤=1,当且仅当lna=lnb=1,即a=b=e时取等号.
∴t≤e.
故答案为:e.
13. 当n为正整数时,定义函数N(n)为n的最大奇因数.如N(3) =3,N(10) =5,….
记S(n) = N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n).则S(3) =______;S(n) =________.
参考答案:
略
14. 若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于直线y=2x+l5,
则k=___________.
参考答案:
1
略
15. 已知向量=(1,2),=(﹣3,2),则(+)?= .
参考答案:
14
考点: 平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由向量的坐标运算可得+=(﹣2,4),由数量积的坐标运算可得.
解答: 解:∵=(1,2),=(﹣3,2),
∴+=(1,2)+(﹣3,2)=(﹣2,4),
∴(+)?=﹣2×(﹣3)+4×2=14
故答案为:14
点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标运算,属基础题.
16. 设有一组圆Ck:(x﹣k+1)2+(y﹣3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:
①存在一条定直线与所有的圆均相切;
②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).
参考答案:
②④
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】根据圆的方程找出圆心坐标,发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上,所以这条直线与所有的圆都相交,②正确;根据图象可知这些圆互相内含,不存在一条定直线与所有的圆均相切,不存在一条定直线与所有的圆均不相交,所以①③错;利用反证法,假设经过原点,将(0,0)代入圆的方程,因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,假设错误,则圆不经过原点,④正确.
【解答】解:根据题意得:圆心(k﹣1,3k),
圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项②正确;
考虑两圆的位置关系,
圆k:圆心(k﹣1,3k),半径为k2,
圆k+1:圆心(k﹣1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为(k+1)2,
两圆的圆心距d==,
两圆的半径之差R﹣r=(k+1)2﹣k2=2k+,
任取k=1或2时,(R﹣r>d),Ck含于Ck+1之中,选项①错误;
若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误;
将(0,0)带入圆的方程,则有(﹣k+1)2+9k2=2k4,即10k2﹣2k+1=2k4(k∈N*),
因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确.
则真命题的代号是②④.
故答案为:②④
【点评】本题是一道综合题,要求学生会将直线的参数方程化为普通方程,会利用反证法进行证明,会利用数形结合解决实际问题.
17.
设则函数取最小值时, .
参考答案:
答案:1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)设,解关于的不等式
参考答案:
解析:
……4分
……8分
不等式的解集为 ……12分
19. 设为数列的前n项和,,,其中k是常数.
(1) 求及;
(2) 若对于任意的,,,成等比数列,求k的值.
参考答案:
解:(1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1,
an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2).
a1=k+1也满足上式,所以an=2kn-k+1,n∈N*.……………6分
(2)由am,a2m,a4m成等比数列,得 (4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),将上式化简,得2km(k-1)=0, 因为m∈N*,所以m≠0,故k=0,或k=1. ……12分
20. (本题满分14分)已知函数在区间上存在单调递减区间,且三个不等实数根为,且<。
(1)证明:>-1
(2)在(1)的条件下,证明:<-1<
(3)当时,,求函数的最大值。
参考答案:
21. 设函数,其中.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集为 ,求a的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,可化为 .
由此可得 或.
故不等式的解集为 或.
( Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组
或 即 或
因为,所以不等式组的解集为
由题设可得= ,故
略
22. 设向量,,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若方程无实数解,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)因为,
故的最小正周期为.
(Ⅱ)若方程无解,则,
所以或,
由解得或;
由,故不等式无解,
所以或.