广西壮族自治区桂林市永福县永福中学高三数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为
A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数
C.至少有一个实数的平方不是正数 D.至少有一个实数的平方是正数
参考答案:
C
全称命题的否定是特称命题.,所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”选C.
2. 函数的图象的大致形状是
参考答案:
A
取,则排除B.
取,则排除D.显然是的零点,,排除C.故选A.
或:根据函数定义域及函数极值点判定.
极值点是,时单减,且时,.故选A.
3. 函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,只需把的图象上所有点( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
参考答案:
C
略
4. 若,且,则下列不等式中,恒成立的是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
D
5. 已知实数x,y满足,则的取值范围是( )
A.[-1,3] B.[-13,3] C.[3,11] D.[-5,11]
参考答案:
D
画出不等式组表示的平面区域如图.
当直线过点时,;
过点时,.
所以的取值范围是.
6. 若x,y满足,则x+2y的最大值为( )
A. B.6 C.11 D.10
参考答案:
C
考点: 简单线性规划.
专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用.
分析: 由题意作出其平面区域,令z=x+2y,化为y=﹣x+z,z相当于直线y=﹣x+z的纵截距,由几何意义可得.
解答: 解:由题意作出其平面区域,
令z=x+2y,化为y=﹣x+z,z相当于直线y=﹣x+z的纵截距,
联立x﹣y+1=0与2x﹣y﹣2=0解得,x=3,y=4;
则x+2y的最大值为3+2×4=11,
故选C.
点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.
7. 已知P(2,)在双曲线﹣=1上,其左、右焦点分别为F1、F2,三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M,则?的值为( )
A.2﹣1 B.2+1 C.2﹣2 D.2﹣
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】综合题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据题意,利用切线长定理,再利用双曲线的定义,把|PF1|﹣|PF2|=4,转化为|AF1|﹣|HF2|=4,从而求得点M的横坐标,即可得出结论.
【解答】解:P(2,)在双曲线﹣=1上,可得b=,
∴F1(﹣3,0)、F2(3,0),
如图,设M(x,0),内切圆与x轴的切点是点M,PF1、PF2与内切圆的切点分别为N、H,
∵由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=4,
由圆的切线长定理知,|PN|=|PH|,故|NF1|﹣|HF2 |=8,
即|MF1|﹣|HF2|=4,
设内切圆的圆心横坐标为x,则点M的横坐标为x,
故(x+3)﹣(3﹣x)=4,∴x=2.
∴?=(2﹣2,)?(3﹣2,0)=2﹣2,
故选:C.
【点评】本题考查双曲线的定义、切线长定理,体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想,正确运用双曲线的定义是关键.
8. 与函数的图象相同的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 下列命题中真命题的个数为( )
①,使得. ②锐角中,恒有.
③,不等式成立的充要条件为:
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知定义在上的奇函数,满足,且在区间上是增函数,若方程,在区间上有四个不同的根,则=( )
A.-12 B.-8 C.-4 D.4
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=的定义域是______________.
参考答案:
12. 方程在区间上所有根之和等于( )。
参考答案:
4020
13. 列频率分布表是为了了解样本数据在各个小组内所占的 大小,从而估计总体的___ 情况。
参考答案:
比例 相应
14. 已知菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角
A—BD—C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离等于 。
参考答案:
15. 给出下列命题:①抛物线x=的准线方程是x=1;
②若x∈R,则 的最小值是2 ;
③ 函数f(x)= 的定义域为2, ;
④ 圆C1:与圆C2:的位置关系是外切。
其中正确的是(填序号)
参考答案:
(1)(4)
略
16. 已知a>0,展开式的常数项为15,则= .
参考答案:
【考点】67:定积分;DB:二项式系数的性质.
【分析】根据二项式定理计算a,再根据定积分的几何意义和性质计算即可.
【解答】解:∵展开式的常数项为15,∴C()4x2=15,
∴a4=1,又a>0,∴a=1.
∵y=表示半径为1的上半圆,y=sin2x是奇函数,
∴=, =0,
∴==.
故答案为:.
17. 用数字0,1,2,3,4,5,可以组成 个没有重复数字的6位偶数。(用数字作答)
参考答案:
312
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,若每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量之间满足关系:已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件装次品将亏损1万元.(利润=盈利—亏损)
(I)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润(万元)表示为的函数;
(II)当每台机器的日产量(万件)写为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?
参考答案:
略
19. 已知函数f(x)=cosx?sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若f(A)=,a=,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
【考点】GQ:两角和与差的正弦函数;H5:正弦函数的单调性;HP:正弦定理.
【分析】(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x﹣),由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的单调递增区间.
(2)由题意可解得:sin(2A﹣)=,结合范围0,解得A的值.由余弦定理可得:3≥bc,利用三角形面积公式即可得解.
【解答】解:(1)∵f(x)=cosx?sin(x+)﹣cos2x+
=cosx(sinx+cosx)﹣cos2x+
=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+
=sin2x﹣×+
=sin(2x﹣),
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的单调递增区间为:[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
(2)∵f(A)=sin(2A﹣)=,解得:sin(2A﹣)=,
∵0,﹣<2A﹣<,
∴解得:2A﹣=,即A=.
∴由余弦定理可得:3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc,
∴S△ABC=bcsinA=bc≤=.
20. 在三棱柱中,四边形为菱形,
,D为AB 的中点.
(I)求证:;
(Ⅱ)求直线,与平面所成角的正弦值.
参考答案:
略
21. 【不等式选讲】(本小题满分10分)设函数。
(1)若解不等式;
(2)如果,,求 的取值范围。
参考答案:
解(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳.
由f(x)≥3得
︱x-1︳+︱x+1|≥3
(ⅰ)x≤-1时,不等式化为
1-x-1-x≥3 即-2x≥3
解法2:利用绝对值的几何意义,求得f(x)的最小值为|a-1|,其余同上。
略
22. 已知是公差为1的等差数列,是公比为2的等比数列,分别是
的前n项和,且
(I)求的通项公式;
(II)若求n的取值范围。
参考答案:
解析:(I)依题意得,, …………2分
解得 …………4分
…………6分
(II)若,化简整理得
…………9分
…………12分