江苏省无锡市阳山职业高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量,,若向量,则 ( )
A.2 B. C. 8 D.
参考答案:
A
2. 如图为一个几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为( )
A.4π B.12π C.12π D.24π
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何.
【分析】几何体为直三棱柱,作出直观图,根据三棱柱的结构特征找出外接球的球心外置,计算半径.
【解答】解:由三视图可知该几何体为直三棱柱ABC﹣A'B'C',
作出直观图如图所示:则AB⊥BC,AB=BC=2,AA'=2.∴AC=2.
∴三棱柱的外接球球心为平面ACC'A'的中心O,
∴外接球半径r=OA=AC'==.
∴外接球的表面积S=4π×=12π.
故选B.
【点评】本题考查了棱柱与外接球的三视图和结构特征,属于中档题.
3. 设函数,其中,若存在唯一负整数,使得,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
设g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,
由题意知存在唯一的负整数x0使得g(x0)在直线y=ax﹣a的下方,
∵g′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1),
∴当x<﹣时,g′(x)<0,当x>﹣时,g′(x)>0,
∴当x=﹣时,g(x)取最小值﹣2,
直线y=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a,
故﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1﹣a﹣a,g(﹣2)=
解得:≤a<
故选:D.
4. 已知|(x)在R上是奇函数,且满足|(x+4)=|(x),当x∈(0,2)时,|(x)=2x2,则|(7)等于 ( )
A -2 B 2 C -98 D 98
参考答案:
A
5. 设i是虚数单位,若复数a﹣(a∈R)是纯虚数,则a的值为( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
参考答案:
D
考点: 复数的基本概念.
专题: 计算题.
分析: 利用复数的运算法则把a﹣(a∈R)可以化为(a﹣3)﹣i,再利用纯虚数的定义即可得到a.
解答: 解:∵=(a﹣3)﹣i是纯虚数,
∴a﹣3=0,解得a=3.
故选D.
点评: 熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键.
6. 己知直线l的斜率为k,它与抛物线y2=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若,则|k|=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】设出直线方程,把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程,利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积,由代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系,由两个向量的模相等,结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值,代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式,解方程组可求解k的值.
【解答】解:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),与抛物线y2=4x相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
联立,得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0.
所以△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=16﹣16km>0,即km<1.
,.
由y2=4x得其焦点F(1,0).
由,得(1﹣x1,﹣y1)=2(x2﹣1,y2).
所以,
由①得,x1+2x2=3 ③
由②得,.
所以m=﹣k.
再由,得,
所以x1+1=2(x2+1),即x1﹣2x2=1④
联立③④得.
所以=.
把m=﹣k代入得,解得,满足mk=﹣8<1.
所以.
故选A.
【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,解答的关键是利用向量关系得到两个交点A,B的坐标的关系,同时灵活运用了抛物线的定义,属中高档题.
7. 椭圆的焦距比短轴长 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 设,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
因为 ,所以 .
9. 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1=( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
10. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )
A.3 B.3 C.9 D.9
参考答案:
A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由已知中的三视图,可得:该几何合格是一个以俯视图为底面的四棱锥,计算底面面积和高,代入椎体体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图,可得:该几何合格是一个以俯视图为底面的四棱锥,
其底面面积S=(2+4)×1=3,
高h=3,
故体积V==3,
故选:A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某校对全校男女学生共1600名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本,已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是 人.
参考答案:
760
12. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .
参考答案:
13. 已知函数,数列{an}为等比数列,,,则 .
参考答案:
∵,
∴
∵数列{an}是等比数列,
∴
∴设S2019=f(lna1)+f(lna2)+…+f(lna2019)①,
∵S2019=f(lna2019)+f(lna2018)+…+f(lna1)②,
①+②得2S2019=2019,
∴S2019
14. 在(的二项展开式中,的系数为 .
参考答案:
-40
略
15. 已知△ABC满足,点D为线段AB上一动点,若最小值为-3,则△ABC的面积S= .
参考答案:
16. 已知为一个内角,且,则___________
参考答案:
17. 已知函数的图象关于直线x = 1对称,则__________。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1)当时,若函数恰有一个零点,求的取值范围;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(1)函数的定义域为,
当时,,所以,
①当时,时无零点,
②当时,,所以在上单调递增,
取,则,
因为,所以,此时函数恰有一个零点,
③当时,令,解得,
当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增.
要使函数有一个零点,则即,
综上所述,若函数恰有一个零点,则或;
(2)令,根据题意,当时,恒成立,又,
①若,则时,恒成立,所以在上是增函数,且,所以不符题意.
②若,则时,恒成立,所以在上是增函数,且,所以不符题意.
③若,则时,恒有,故在上是减函数,于是“对任意,都成立”的充要条件是,即,解得,故.
综上,的取值范围是.
19. 已知函数.
(1)判断并证明的奇偶性;
(2)求证:;
(3)已知,且,,求的值.
参考答案:
(1)为奇函数.因为所以,定义域为,所以定义域关
于原点对称,又,所以
为奇函数.
(2)因为,
,所以.
(3)因为,所以,又,所以
,由此可得:.
20. 已知数列和中,数列的前项和记为. 若点在函数
的图象上,点在函数的图象上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和 。
参考答案:
21. (本小题满分14分)设数列的各项都为正数,其前n项和为,己知对任意,是和的等差中项.
(I)求数列的通项公式;
(II)数列满足,,为数列中的项,试问是否仍是数列中的项?如果是,请指出是数列的第几项;如果不是,请说明理由
参考答案:
22. (本小题满分12分)如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
∥,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值;
(Ⅲ)在上找一点,使得∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.
参考答案:
,,.
取.
设,
,,
从而. …………4分
(2)由(1)可知: 即为CE与面BDE所成的角.
中,,
. ……8分
(3)取EC中点M,则BM∥面ADEF,证明如下:
连结MB、MP,由(1)知BP∥AD,∴BP∥面ADEF,M、P分别为EC、DC的中点, ∥,∴MP∥面ADEF,∴面BMP∥面ADEF,∴BM∥面ADEF. ……………12分
考点:平行关系,垂直关系,线面角的计算.