山东省潍坊市寿光圣都中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 高三毕业时,甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲,乙相邻,则甲丙相邻的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】利用捆绑法求出甲乙相邻的基本事件个数,同样利用捆绑法(甲在中间,乙丙可以交换)求出甲乙丙相邻的事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.
【解答】解:甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,甲,乙相邻的排法种数为(种).
在甲,乙相邻的条件下,甲丙相邻的排法种数为(种).
所以,甲,乙相邻,则甲丙相邻的概率为P=.
故选B.
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了利用捆绑法求排列数,是基础的计算题.
2. 某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 已知函数,有下列四个结论:
①函数在区间上是增函数;
②点是函数图象的一个对称中心;
③函数的图象可以由函数的图象向左平移得到;
④若,则的值域为.
则所有正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①③ C.②④ D.①②
参考答案:
考点:1.三角函数的图象和性质;2.三角函数的图象变换;3.和差倍半的三角函数.
4. 下列命题说法正确的是
(A)使得 (B)使得
(C)使得 (D)使得
参考答案:
D
5.
若的展开式中各项系数之和为1024,则展开式中含x的整数次幂的项共有 ( )
A.2项 B.3项 C.5项 D.6项
参考答案:
答案:B
6. 已知圆M方程:,圆N的圆心(2,1),若圆M与圆N交于A B两点,且,则圆N方程为: ( )
A. B.
C. D.或
参考答案:
D
略
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0, B.() C.(0,) D.(,1)
参考答案:
D
根据正弦定理得,所以由可得,即,所以,又,即,因为,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以,即,所以,即,所以,解得,即,选D.
8. 已知函数,,若函数有两个不同的零点,则实数的取值为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
参考答案:
D
略
9. 在数列中,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 在中,点是上的一点,且,是的中点,与的交点为,又,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点A(2,3)且垂直于直线2x+y–5=0的直线方程为___________________
参考答案:
试题分析:直线2x+y–5=0的斜率为,所以所求直线斜率为,直线方程为,整理得 1
考点:直线方程
12. 如图,已知幂函数的图象过点,则图中阴影部分的面积等于
参考答案:
13. 在下列命题中
①函数在定义域内为单调递减函数;
②已知定义在上周期为4的函数满足,则一定为偶函数;
③若为奇函数,则;
④已知函数,则是有极值的充分不必要条件;
⑤已知函数,若,则.
其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).
命题意图:考查函数的单调性,周期性,奇偶性,定积分,导数与极值.难题.
参考答案:
②④⑤
14. 下列说法,其中正确命题的序号为______________.
①若函数在处有极大值,则实数c=2或6;
②对于R上可导的任意函数,若满足,则必有
③若函数在上有最大值,则实数a的取值范围为(-1,4);
④已知函数是定义在R上的奇函数,则不等式的解集是(-1,0).
参考答案:
③④
略
15. 在等差数列中,,则数列的前5项和= 。
参考答案:
90
16. 已知角的终边经过点(-4,3),则= ,= ;
参考答案:
;
试题分析:由题意可得.
考点:任意角三角函数的定义.
17. 集合A={1,2,3,4},B={x|(x﹣1)(x﹣5)<0},则A∩B= .
参考答案:
{2,3,4}
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】解关于B的不等式,求出A、B的交集即可.
【解答】解:A={1,2,3,4},
B={x|(x﹣1)(x﹣5)<0}={x|1<x<5},
则A∩B={2,3,4};
故答案为:{2,3,4}.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知正项数列中,,前n项和为,当时,有.(1)求数列的通项公式;
(2)记是数列的前项和,若的等比中项,求 .
参考答案:
解析: (1)
……………1分
, ……………2分
…………………………………………3分
………………………………………4分
……………6分
(2)
…………………………………7分
…………………………………8分
……………10分
………………………………………12分
略
19. (12分)某通道有两道门,在每道门前的匣子里各有3把钥匙,其中一把能打开任何一道门,一把只能打开本道门,还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始,随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门,若不能进入,就终止;若能进入,再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙,并用已得到的两把钥匙开门.
(Ⅰ)求第一道门打不开的概率;
(Ⅱ)求能进入第二道门的概率.
参考答案:
解析:设第一个匣子里的三把钥匙为A,B,C,第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a能打开所有门,B只能打开第一道门,b只能打开第二道门,C,c不能打开任何一道门)
(Ⅰ)第一道门打不开的概率为;………………………………………………5分
(Ⅱ)能进入第二道门的情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,而二把钥匙的不同情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc共9种,故能进入第二道门的概率为………………………………………12分
20. 已知圆的极坐标方程为:.
⑴将极坐标方程化为普通方程;
⑵若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.
参考答案:
⑴; ⑵圆的参数方程为
所以,那么x+y最大值为6,最小值为2.
略
21. 已知=(bsinx,acosx),=(cosx,﹣cosx),f(x)=?+a,其中a,b,x∈R.且满足f()=2,f′(0)=2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)﹣=0在区间[0,]上总有实数解,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(I)利用数量积运算和导数的运算法则即可得出;
(II)利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性、对数的运算法则即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知, =,
由得,
∵f′(x)=asin2x+bcos2x,又,∴,∴a=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得=,
∵,,
∴,f(x)∈[0,3].
又∵有解,即f(x)=﹣log3k有解,
∴﹣3≤log3k≤0,解得,
∴实数k的取值范围为.
22. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,如图:点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿,点C在点A的北偏东47°方向,点B在点C的南偏西36°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为3海里.
(1)求A、C两点间的距离;(精确到0.01)[来源:]
(2)某一时刻,我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船,其航线为PCA(直线行进),而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北航行8海里至点M处,再折向点A直线航行,航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助?说明理由.
参考答案:
略