2022-2023学年福建省三明市文井初级中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，，若，，，则（   ） A．   B． C． D． 参考答案： C 略 2. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4，5的五个球，现从甲乙两个盒子中各取出1个球，球的标号分别记做a，b，每个球被取出的可能性相等，则|a﹣b|≤1的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计． 【分析】所有的数对（a，b）共有5×5=25个，而满足|a﹣b|≤1的数对用列举法求得有13个，由此求得所求事件的概率． 【解答】解：所有的数对（a，b）共有5×5=25个，而满足|a﹣b|≤1的数对（a，b）有（1，1），（1，2），（2，1）、（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5）共计13个， 故|a﹣b|≤1的概率为 故选：B． 【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题． 3. 函数（   ） A．是奇函数，且在上是单调增函数 B．是奇函数，且在上是单调减函数 C．是偶函数，且在上是单调增函数 D．是偶函数，且在上是单调减函数 参考答案：  A    解析：为奇函数且为增函数 4. 判断下列各命题的真假： （1）向量的长度与向量的长度相等； （2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； (6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（　　） A、2个　　B、3个　　C、4个　　D、5个   参考答案： C 5. 已知空间中点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且，则实数x的值是（   ） A．4或0         B．4       C.3或－4         D．－3或4 参考答案： C 6. 已知全集为R，集合，，则A∩B=元素个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数 【详解】由，可得：， 所以，即元素个数为2， 故答案选B 【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题。 7. 一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（　　） A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2 参考答案： B 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】先根据正方体的顶点都在球面上，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，体对角线为=2， 即为球的直径，所以半径为，表面积为4π2=12π． 故选B． 8. 下列四个命题中，假命题的是（    ） A. 对于任意的、值，使得恒成立 B. 不存在、值，使得 C. 存在这样的、值，使得 D. 不存在无穷多的、值，使得 参考答案： D 【分析】 根据正弦的和角公式进行判断即可，不成立的等式要举出反例。 【详解】选项A是正弦和角公式，是真命题。同理，选项B也成立。对于选项C,       令 等式成立。所以选项C正确。选项D，令 等式成立，所以选项D错误。 【点睛】本题考查的是正弦的和角公式的理解。说明等式不成立时，只要举出反例即可。 9. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且为偶函数的是（　　） A．y=x3 B．y=2x C．y=[x]（不超过x的最大整数） D．y=|x| 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】根据题意，对选项中的函数的单调性和奇偶性进行判定即可． 【解答】解：对于A，函数y=x3，是定义域R上的奇函数，不满足题意； 对于B，函数y=2x，是定义域R上的非奇非偶的函数，不满足题意； 对于C，函数y=[x]，是定义域R上的奇函数，不满足题意； 对于D，函数y=|x|，是定义域R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增． 故选：D． 10. 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+]上是减函数，又，则 A、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6      B、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6      D、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆，抛物线，设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是____________． 参考答案： (2,4) 12. 已知幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为__________． 参考答案： 设幂函数为，代入， ∴． ∴幂函数为． 13. =         参考答案： （1，） 略 14. 若不等式3x2﹣logax＜0在x∈（0，）内恒成立，则a的取值范围是　　． 参考答案： [，1） 【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】作出函数f（x）=3x2，x∈（0，）的图象，结合题意可得0＜a＜1，作出函数g（x）=logax（0＜a＜1）的图象，结合图象确定a的取值范围． 【解答】解：由题意可得，a＞1不符合题意，故0＜a＜1， 分别作出函数f（x）=3x2，x∈（0，）和函数g（x）=logax（0＜a＜1）的图象， 而函数f（x）在（0，）单调递增，函数g（x）=logax在（0，）单调递减， 不等式x2﹣logax＜0在（0，）内恒成立，只需f（）≤g（）， 即≤loga，解得≤a＜1， ∴实数a的取值范围是≤a＜1． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．本题选用了数形结合法求解，将3x2﹣logax＜0在x∈（0，）内恒成立，转化为函数f（x）=3x2与g（x）=logax的图象进行求解，解题时要注意抓住“临界”状态分析．为研究数量关系问题而提供“形”的直观性，是探求解题途径、获得解题结果的重要工具，应重视数形结合解题的思想方法．属于中档题． 15. 已知函数图像上任意两点连线都与轴不平行，则实数的取值范围是          ． 参考答案： 或 由题意可知函数在上是单调函数，所以轴或 解得或 故答案为或   16. 若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是__________． 参考答案： （－5，10） 17. 以，B（10,-1,6), C(2,4,3)为顶点的三角形的形状为           . 参考答案： 等腰直角三角形 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设θ为第二象限角，若．求 （Ⅰ）tanθ的值； （Ⅱ）的值． 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值． 【分析】（Ⅰ）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算求值． （Ⅱ）由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，sinθ的值，利用诱导公式，二倍角公式化简所求后即可计算求值． 【解答】（本题满分9分） 解：（Ⅰ）∵， ∴． ∴解得… （Ⅱ）∵θ为第二象限角，， ∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，… ∴… 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间. （2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值. 参考答案： （1）增区间是：减区间是：；（2）-2，1. 【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果. 【详解】（1） ， 由     得，   增区间是：， 由  得 减区间是： （2）由（Ⅰ）可得 把向右平移个单位得到函数， ， 因为， 所以， ， 故所在区间上的最大值为1， 最小值为. 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域. 20. (本题满分为14分)已知直线与圆相交于,两点,且(为坐标原点),求实数的值. 参考答案： 解:由题意设、,,则由方程组消得,于是根据韦达定理得,,, =. , ∵, ∴, 即,故,从而可得＋=0,解得. 21. 已知函数=的部分图象如图所示． (1)求的值; (2)求的单调增区间; (3)求在区间上的最大值和最小值． 参考答案： (1);（2）单调递增区间为(3)时,取得最大值1;时,f(x)取得最小值． 试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值; (2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解; (3)利用三角函数的单调性和最值进行求解． 试题解析： (1)由图象知 由图象得函数的最小正周期为=, 则由=得． (2)令 . . 所以f(x)的单调递增区间为 （3） . . 当即时,取得最大值1; 当即时,f(x)取得最小值． 22. （13分）已知函数， （1）讨论函数的奇偶性； （2）证明：f（x）＞0． 参考答案： 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质． 专题： 计算题． 分析： （1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数． （2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立． 解答： （1）该函数为偶函数． 由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分） f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x =（）x=（）x=（）x=f（x）（6分） 故该函数为偶函数．   …（7分） （2）证明：任取x∈{x|x≠0} 当x＞0时，2x＞20=1且x＞0， ∴2x﹣1＞0， 故 从而…（11分） 当x＜0时，﹣x＞0， ∴f（﹣x）＞0，…（12分） 又因为函数为偶函数， ∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分） ∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分） 点评： 本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．