山东省潍坊市高崖中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
2. 某校高级职称教师104人,中级职称教师46人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取42人进行调查,已知从其它教师中共取了12人,则该校共有教师人 ( )
A.60 B.200 C.210 D.224
参考答案:
C
略
3. 设、表示两条不同的直线,、表示两个不同的平面,下列命题中真命题是 ( ) .
A.若,则 B.若
C.若 D.若
参考答案:
C
4. 已知直线,平面且给出下列命题:
①若∥,则; ②若,则∥; ③若,则;
④若∥,则。 其中正确的命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
【知识点】平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.G4 G5
B 解析:(1)中,若α∥β,且m⊥α?m⊥β,又l?β?m⊥l,所以①正确.
(2)中,若α⊥β,且m⊥α?m∥β,又l?β,则m与l可能平行,可能异面,所以②不正确.
(3)中,若m⊥l,且m⊥α,l?β?α与β可能平行,可能相交.所以③不正确.
(4)中,若m∥l,且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β,∴④正确.故选B.
【思路点拨】根据有关定理中的诸多条件,对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定,将由条件可能推出的其它的结论也列举出来.
5. 已知集合,,则A∩B=( )
A.(0,1] B.(1,4] C.(-1,1] D.(0,4]
参考答案:
D
6. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B等于( )
A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}
参考答案:
D
因为集合B中,x∈A,所以当x=1时,y=3-2=1;
当x=2时,y=3×2-2=4;当x=3时,y=3×3-2=7;
当x=4时,y=3×4-2=10;即B={1,4,7,10}.
又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.故选D.
7. 若不等式对于任意正整数n成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
8. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. 1 C. D. 3
参考答案:
C
略
9. 对于平面和共面的两直线、,下列命题中是真命题的为
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若、与所成的角相等,则
参考答案:
C
10. (多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,,,数列的前n项和为Tn,,则下列选项正确的为( )
A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列
C. 数列{an}的通项公式为 D.
参考答案:
BCD
【分析】
由数列的递推式可得,两边加1后,运用等比数列的定义和通项公式可得,,由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解:由即,
可化为,由,可得数列是首项为2,公比为2的等比数列,
则,即,
又,可得,
故错误,,,正确.
故选:BCD.
【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,以及数列的裂项相消法求和,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,,,则的值为_______________.
参考答案:
略
12. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
【知识点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4
解析:因为当x≥0时,f(x)=,所以f(x)是的增函数,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)是R上的增函数,所以若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,即对任意x∈[a,a+2]
,因为函数2x+1是[a,a+2]上的增函数,所以2x+1有最大值2a+5,所以.
【思路点拨】先根据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数,然后把命题转化为对任意x∈[a,a+2],a 2x+1恒成立问题求解.
13. 在四面体中,,二面角的大小为150°,则四面体外接球的半径为 .
参考答案:
14. 设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则=_______________。
参考答案:
.
15. 已知椭圆的左焦点,为坐标原点,点在椭圆上,点在椭圆的右准线上,若,,则椭圆的离心率为 ;
参考答案:
16. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a=1,,
则A=
参考答案:
60°
17. 已知函数f(x)=ex+x3,若f(x2)<f(3x﹣2),则实数x的取值范围是 .
参考答案:
(1,2)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,判断导函数的符号,判断单调性,转化不等式求解即可.
【解答】解:因为函数f(x)=ex+x3,可得f′(x)=ex+3x2>0,所以函数f(x)为增函数,
所以不等式f(x2)<f(3x﹣2),等价于x2<3x﹣2,解得1<x<2,
故答案为:(1,2).
【点评】本题考查函数的导数的应用,不等式的求法,考查转化思想以及计算能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
略
19. 已知函数,且的解集为[-1,1].
(1)求k的值;
(2)若a,b,c是正实数,且,求证:.
参考答案:
(1);(2)详见解析.
试题分析:(1)等价于,从而可求得的解集,根据已知其解集为可得的值.(2)由(Ⅰ)知,又因为是正实数,所以根据基本不等式即可证明.
试题解析:解:(1)因为,所以等价于
由有解,得,且其解集为
又的解集为,故
(2)由(1)知,又是正实数,由均值不等式得
当且仅当时取等号。
也即
考点:1绝对值不等式;2基本不等式.
20. 已知椭圆的短轴长为,离心率为,点,是上的动点,为的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点在轴的右侧,以为底边的等腰的顶点在轴上,求四边形面积的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)依题意得解得
∴椭圆的方程是
(Ⅱ)设
设线段中点为 ∵ ∴中点,直线斜率为
由是以为底边的等腰三角形∴
∴直线的垂直平分线方程为
令 得 ∵ ∴
由 ∴四边形面积
当且仅当即时等号成立,四边形面积的最小值为.
21. 抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得数字分别为x,y.设为随机变量,若为整数,则;若为小于1的分数,则;若为大于1的分数,则. (1)求概率; (2)求的分布列,并求其数学期望.
参考答案:
(1)依题意,数对(x,y)共有16种,其中使为整数的有以下8种:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),
所以; -------------------------------4分。
(2)随机变量的所有取值为,,,
有以下6种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),
故; 有以下2种:(3,2),(4,3),
故;
所以的分布列为:
0
1
,--------------------------------------9分
答:的数学期望为.----------------------------------------------------10分。
22. (本小题满分8分)已知数列满足:a3=-13,an=an-1+4,(n>1,n∈N*)。
(1) 求a1,a2及通项an;
(2) 设Sn是数列{an}的前n项和,则数列S1,S2,S3,…中哪一项最小?并求出这个最小值。
参考答案:
(1),
又,为首项为2,公比为2的等比数列,;
(2),。