四川省资阳市岳城职业中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量,如果∥那么( )
A.k=1且与同向 B.k=1且与反向
C.k=﹣1且与同向 D.k=﹣1且与反向
参考答案:
D
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】表示出向量,,根据向量平行的充要条件可求得k值,从而可判断其方向关系.
【解答】解: =k(1,0)+(0,1)=(k,1),=(1,0)﹣(0,1)=(1,﹣1),
因为∥,所以﹣k﹣1=0,解得k=﹣1.
则=(﹣1,1),=(1,﹣1),,与反向,
故选D.
2. 设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(﹣2),f(1),f(﹣3)的大小关系是( )
A.f(1)>f(﹣3)>f(﹣2) B.f(1)>f(﹣2)>f(﹣3) C.f(1)<f(﹣3)<f(﹣2) D.f(1)<f(﹣2)<f(﹣3)
参考答案:
D
【考点】函数单调性的性质;函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先利用偶函数的性质,将函数值转化到同一单调区间[0,+∞)上,然后比较大小.
【解答】解:因为f(x)是偶函数,所以f(﹣3)=f(3),f(﹣2)=f(2).
又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,
故f(3)>f(2)>f(1).
即f(﹣3)>f(﹣2)>f(1).
故选D
【点评】本题考查了函数的单调性在比较函数值大小中的应用,要注意结合其它性质考查时,一般先将不同区间上的函数值转化到同一单调区间上再比较大小.
3. 已知是的三条边,成等差数列,也成等差数列,则的形状是 ▲ .
参考答案:
等边三角形
略
4. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
参考答案:
D
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】利用三视图的作图法则,对选项判断,A的三视图相同,圆锥,四棱锥的两个三视图相同,棱台都不相同,推出选项即可.
【解答】解:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,圆锥和正四棱锥的,正视图和侧视图相同,
所以,正确答案为D.
故选D
【点评】本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.
5. 下列函数中,在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 下列函数中,与函数 有相同定义域的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
7. 多面体的直观图如右图所示,则其正视图为( )
参考答案:
A
略
8. 已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[,) B.[,) C.(,) D.(,1)
参考答案:
B
【考点】分段函数的应用;函数单调性的性质.
【分析】根据题意,由函数在R上是减函数,分析可得,解可得a的取值范围,即可得答案.
【解答】解:根据题意,若函数f(x)=是R上的减函数,
则有,
解可得≤a<,
即a的取值范围是[,);
故选:B.
9. 已知是第三象限的角,若,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
,,解方程组得:,选B.
10. 已知三点A(-2,-1),B(x,2),C(1,0)共线,则x为:( )
A、7 B、-5 C、3 D、-1
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若3sinα+cosα=0,则的值为 .
参考答案:
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】运用同角的商数关系,求得tanα,再将所求式子分子用平方关系,再分子分母同除以cos2α,代入计算即可得到所求值.
【解答】解:3sinα+cosα=0,
则有tanα==﹣,
则=
===.
故答案为:.
12. 在等差数列{an}中,,,则 .
参考答案:
8
【详解】设等差数列{an}的公差为,
则,
所以,故答案为8.
13. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,若抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落人区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为 .
参考答案:
7
【考点】系统抽样方法.
【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为an=9+(n﹣1)30=30n﹣21,由751≤30n﹣21≤981 求得正整数n的个数,即为所求.
【解答】解:∵960÷32=30,
∴由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列,
且此等差数列的通项公式为an=9+(n﹣1)30=30n﹣21.
落人区间[751,960]的人做问卷C,
由 751≤30n﹣21≤960,
即772≤30n≤981
解得≤n≤.
再由n为正整数可得 26≤n≤32,
∴做问卷C的人数为32﹣26+1=7,
故答案为:7
14. 若扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是 .
参考答案:
略
15. 已知,且,则的值是 .
参考答案:
.
将两边平方得,
所以,则,
又,所以,所以,
故.
16. 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一部分跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12,若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该学校全体高一学生单调达标率是 .
参考答案:
0.88
【考点】频率分布直方图.
【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】根据从左到右各小长方形的面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12,用比值做出样本容量,根据样本容量和前两个小长方形所占的比例,用所有的样本容量减去前两个的频数之和,得到结果,除以样本容量得到概率.
【解答】解:∵从左到右各小长方形的面积之比为2:4:17:15:9:3,
第二小组频数为12.
∴样本容量是=150,
∵次数在110以上为达标,
次数在110以上的有150(1﹣)=132,
∴全体高一学生的达标率为=0.88.
【点评】本题考查频率分步直方图的应用,是一个基础题,这种题目解题的关键是看清图中所给的条件,知道小长方形的面积就是这组数据的频率.
17. 下列四个命题:(1)函数在时是增函数,时也是增函数,所以是增函数;(2)若函数与轴没有交点,则且;(3)的递增区间为;(4)和表示相同函数.(5)若函数,当时,方程有且只有一个实数根
其中正确的命题是 .
参考答案:
(5)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (8分)已知.
(Ⅰ)化简; (Ⅱ)已知,求的值.
参考答案:
(Ⅰ) ……………4分
(Ⅱ) ……………8分
19. 如图,AB是⊙O的直径,PA⊥⊙O所在的平面,C是圆上一点,∠ABC = 30°,PA = AB.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)求直线PC与平面ABC所成角的正切值;
(3)求二面角A—PB—C的正弦值.
参考答案:
解:(1)证明:∵AB是直径 ∴∠ACB = 90°,即BC⊥AC
∴PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC 又BC平面PBC
∴平面PBC⊥平面PAC
(2)∵PA⊥平面ABC
∴直线PC与平面ABC所成角即∠PCA
设AC = 1,∵∠ABC = 30°∴PA = AB = 2
∴tan∠PCA = = 2
(3) 在平面PAC中作AD⊥PC于D,在平面PAB中作AE⊥PB于连结DE
∵平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC = PC,AD⊥PC
∴AD⊥平面PBC
∴AD⊥PB
又∵PB⊥AE ∴PB⊥面AED
∴PB⊥ED
∴∠DEA即为二面角A—PB—C的平面角
在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中,
分别由等面积方法求得
AD = AE =
∴在直角三角形ADE中可求得:sin∠DEA =
即二面角A—PB—C的正弦值为.
略
20. 全集U=R,若集合,,则
(1)求A∩B;
(2)求.
参考答案:
…………6分
……………10分
……….14分
(注:第二问答案对就给满分.)
21. 已知集合A =, B=,
A∩B={3,7},求。
参考答案:
22. 在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离(-1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
参考答案:
由已知条件得,AB=2,AC=-1,∠BAC=120°,
∴BC=.
在△ABC中,,解得sin∠ACB=,∴∠ACB=45°,
∴BC为水平线,设经过时间t小时后,缉私船追上走私船,则在△BCD中,
BD=10t,CD=10t,∠DBC=120°,
sin∠BCD=,
∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船.