四川省资阳市雁江区石岭中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （2016?沈阳一模）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（　　） A．24种 B．28种 C．32种 D．36种 参考答案： B 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题；分类讨论；转化法；排列组合． 【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得． 【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3×4=12种 第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．那共有：4×1=4种， 第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那共有：4×3=12种， 综上所述：总共有：12+4+12=28种分法， 故选：B． 【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题． 2. 利用导数，可以判断函数在下列哪个区间内是增函数  （    ）     A．    B．     C．       D． 参考答案： B 略 3. 设全集，则＝(   ) A.[1，3)           B. (1，3]           C.(1，3)             D.(－2，1] 参考答案： A 4. 已知，则|z|=（　　） A．2 B． C． D． 参考答案： D 【考点】复数求模． 【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵ =﹣=﹣， ∴z=． 则|z|==． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为（    ） A.1 B. C. D. 参考答案： D 6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术。利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率。如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（参考数据：=1.732，） A 12   B 24  C 36    D48 参考答案： B n=6，s=2.598      n=12，s=3      n=24，s=3.1056结束循环     输出n=24 7. 设又是一个常数，已知当或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根，给出下列命题：    ①和有一个相同的实根；    ②和有一个相同的实根；    ③的任一实根大于的任一实根；    ④的任一实根小于的任一实根； 其中正确命题的个数为                                                （    ）    A．3               B．2             C．1               D．0 参考答案： 答案：A 8. 的内角满足条件：且，则角的取值范围是（     ） A.      B.        C.   D. 参考答案： C 略 9. 根据历年统计资料，我国东部沿海某地区60周岁以上的老年人占0.2，在一个人是60周岁以上的条件下，其患高血压的概率为0.45，则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是(    ) A．0.45         B．0.25       C.0.09         D．0.65 参考答案： C 10. 设a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c这三个数的大小关系为(     ) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b 参考答案： A 【考点】对数值大小的比较． 【专题】计算题． 【分析】由a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，知c＜b＜a． 解：∵a=60.7＞60=1， 0＜b=0.76＜0.7， c=log0.76＜log0.71=0， ∴c＜b＜a． 故选A． 【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ．若命题“是真命题”，则实数a的取值范围是       。 参考答案： 或 若命题为真，则对应方程有解，即，解得或。 12. 已知直线l：，，若直线经过抛物线的焦点，则此时直线被圆截得的弦长______. 参考答案： －1      抛物线的焦点为 ， ，解得：； ，圆心 在直线 上，即 . 13. 已知点在椭圆上运动，则最小值是          ． 参考答案：          14. 的二项展开式中含的项的系数为             . 参考答案： 15 15. 在平面直角坐标系xoy中，点P是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的取值范围为　　． 参考答案： [，2） 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置|AB|的值，即可得到结论． 【解答】解：圆心C（1，1），半径R=1，要使AB长度最小，则∠ACB最小，即∠PCB最小， 即PC最小即可，由点到直线的距离公式可得d==2 则∠PCB=60°，∠ACB=120°，即|AB|=， 当点P在3x+4y+3=0无限远取值时，∠ACB→180°， 此时|AB|→直径2， 故≤|AB|＜2， 故答案为：[，2）． 16. 已知，，则__________． 参考答案： 【分析】 根据三角函数的基本关系式求得，进而求得，即可求解，得到答案． 【详解】根据三角函数的基本关系式可得， 又因为，所以，所以． 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 17. 若奇函数在上单调递减，则不等式的解集是        参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2， 点M、N分别为A1B和B1C1的中点． (1)证明：A1M⊥平面MAC； (2)求三棱锥A－CMA1的体积； 参考答案： (1)在Rt△BAC中，BC＝＝＝ 在Rt△A1AC中，A1C＝＝＝. ∴BC＝A1C，即△A1CB为等腰三角形． 又点M为A1B的中点，∴A1M⊥MC. 又∵四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点， ∴A1M⊥MA，又AC∩MA＝A，AC?平面MAC， MA?平面MAC，∴A1M⊥平面MAC.----- -------6分 (2)由(1)的证明可得： 三棱锥A－CMA1的体积 VA－CMA1＝VC－AMA1＝×S△AMA1×CA＝××2×1×2＝.   -------------------12分 略 19. 已知函数 . （Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （Ⅱ）若不等式在区间(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）函数的导函数为    -----2分 由已知，可知      -------4分 即，所以………………5分 （Ⅱ）即为，又 即恒成立，设------------6分 所以---------------------7分 当时，，不满足题意；--------------------9分 当时，由，得，列表如下： ↘ 极小值 ↗                               ---------------------------------------11分 所以 解得 即实数的取值范围是---------------------------------------13分 方法二即为，又 所以恒成立，设---------------------------------7分 则---------------------------------8分 由，可得，列表如下： ↗ 极大值 ↘                                     ------------------------------------------------11分 所以， 故 即实数的取值范围是---------------------------------------13分 20. (14分)已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD， ∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且 (Ⅰ) 求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； (Ⅱ) 当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ 参考答案： 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，          ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.                                  又          ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,          ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.                             （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.                                       ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴                                 由AB2=AE·AC 得      故当时，平面BEF⊥平面ACD.   略 21. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A. （1）求cosA； （2）设（），求△ABC的面积的最小值. 参考答案：   解：（1）C=2A,B=因为成等差数列 所以得 =整理得： 解之得：或(舍去) （2） ∵ 又，,,- ，-所以= 即所求的△ABC面积的最小值为15   22. (本小题满分14分) 如图，直三棱柱，，， 点分别为和的中点 （1）证明：； （2）若二面角为直二面角，求的值 参考答案： （1）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱， 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面  平面，因此      ……6分 （2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示 设则，                                               于是， 所以，设是平面的法向量，