广东省广州市侨联中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2X—y的最大 值是
A.0 B.2 C.2 D.6
参考答案:
D【知识点】简单的线性规划问题E5
由作出可行域如图,
由图可得A(a,-a),B(a,a),由S△OAB=?2a?a=4,得a=2.
∴A(2,-2),化目标函数z=2x-y为y=2x-z,
∴当y=2x-z过A点时,z最大,等于2×2-(-2)=6.
【思路点拨】由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为4的a值,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
2. 执行如图所示的程序框图,输出n的值为( )
A.19 B.20 C.21 D.22
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图.
【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是
计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,求出即可.
【解答】解:模拟执行如图所示的程序框图知,
该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,
由S=≥210,解得n≥20,
∴输出n的值为20.
故选:B.
3. 函数 ( )
A.在 上递增,在上递减
B.在上递增,在上递减
C.在上递增,在上递减
D.在上递增,在上递减
参考答案:
A
略
4. “”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
参考答案:
A
略
5. “1<a<2”是“对任意的正数x,2”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
参考答案:
A
故选A.
6. 若,则实数m的值为( )
A.﹣ B.﹣2 C.﹣1 D.﹣
参考答案:
D
考点:定积分.
专题:导数的概念及应用.
分析:求出被积函数的原函数,然后分别代入积分上限和积分下限作差,由积分值为0求得m的值.
解答: 解:∵=,
∴m=﹣.
故选:D.
点评:本题考查了定积分,关键是求出被积函数的原函数,是基础题.
7. 若O是△ABC所在平面内一点,且满足,则△ABC一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
8. 已知命题:抛物线的准线方程为;命题:若函数为偶函数,则关于对称.则下列命题是真命题的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 如图,正方体中,点在侧面及其边界上运动,并且总是保持,则动点的轨迹是
A.线段 B.线段
C.中点与中点连成的线段
D.中点与中点连成的线段
参考答案:
A
略
10. 在中,为边上任意一点,为的中点,,则的值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AC1、A1B1的中点.点在正方体的表面上
运动,则总能使MP 与BN 垂直的点所构成的轨迹的周长等于 .
参考答案:
略
12. 从甲,乙,丙,丁4个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 .
参考答案:
13. .
参考答案:
14. 已知函数,,对于任意的都能找到,使得,则实数的取值范围是 .
参考答案:
15. 如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为(1,), 那么曲线任一点处的切线的倾斜角的取值范围是 .
参考答案:
略
16. 函数的图像大致如下图,有两条平行于轴的渐近线和,平行于轴的切线方程为,则= .
参考答案:
略
17. 已知是定义在上且周期为的函数,当时,.若函数在区间上有个零点(互不相同),则实数的取值范围是_________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图,在四棱柱中,侧面⊥底面,,底面为直角梯形,其中
,O为中点。
(Ⅰ)求证:平面 ;
(Ⅱ)求锐二面角A—C1D1—C的余弦值。
参考答案:
(Ⅰ)证明:如图,连接, …………1分
则四边形为正方形, …………2分
,且
故四边形为平行四边形,…………3分
, …………4分
又平面,平面 ……5分
平面 …………6分
(Ⅱ)为的中点,,又侧面⊥底面,故⊥底面,…………7分
以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的坐标系,则
,…………8分
,…………9分
设为平面的一个法向量,由,得,
令,则………10分
又设为平面的一个法向量,由,得,令
,则,………11分
则,故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为………12分
19. (本小题满分12分)
在直角坐标系xOy中,椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.F2也是抛物线C2:的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.
(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若,求直线l的方程.
参考答案:
解:(Ⅰ)由:知.
设,在上,因为,所以,得,.
在上,且椭圆的半焦距,于是
消去并整理得 , 解得(不合题意,舍去).
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)由知四边形是平行四边形,其中心为坐标原点,
因为,所以与的斜率相同,
故的斜率.设的方程为.
由 消去并化简得 .
设,,,.
因为,所以.
.
所以.此时,
故所求直线的方程为,或.
略
20. 已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c,设向量.
(I)求B;
(II)若,求△ABC的面积。
参考答案:
(I)∵
∴
由余弦定理得:
又∵∴
(II)∵,由正弦定理得:
∴∴
∴a<b ∴A<B
∴ ∴
∴ABC=
21. (本小题满分12分)已知函数(其中、),是奇函数
(1)求的表达式。
(2)讨论的单调性,并求在上的最值。
参考答案:
解:(1)
由为奇函数可得:
令
,
当 时,
当 时,
当 时,
当上时,为减函数;
当上时,为增函数;
当上时,为减函数
当上时,的最大值,最小值只能在,,处取得。
又,,
因此,,
略
22. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.
(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;
(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)由题目给出的条件,可得四边形ABFD为矩形,说明AB⊥BF,再证明AB⊥EF,由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF,再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF;
(2)以A点为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系,利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值,根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围,最后求解不等式可得a的取值范围.
【解答】证明:如图,
(1)∵AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点,
∴ABFD为矩形,AB⊥BF.
∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE?面ABE,
∴平面ABE⊥平面BEF.
(2)解:∵DE=EC,∴DC⊥EF,又PD∥EF,AB∥CD,∴AB⊥PD
又AB⊥PD,所以AB⊥面PAD,AB⊥PA.
以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,
则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E(1,1,)
平面BCD的法向量,
设平面EBD的法向量为,
由?,即,取y=1,得x=2,z=
则.
所以.
因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,
所以cosθ∈,即.
由得:
由得:或.
所以a的取值范围是.