安徽省六安市光明中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为( )
A. B。 C. D.
参考答案:
D
2. 设a>0,b>0,a+b+ab=24,则( )
A.a+b有最大值8 B.a+b有最小值8 C.ab有最大值8 D.ab有最小值8
参考答案:
B
【考点】7F:基本不等式.
【分析】由a>0,b>0,a+b+ab=24,解方程,用a表示b,把ab和a+b转化成只含有字母a的代数式,利用基本不等式求出ab的最大值和a+b的最小值.
【解答】解:∵
∴;
而
故答案为B.
3. 函数y=的定义域是(﹣∞,1)∪[2,5),则其值域是( )
A.(﹣∞,0)∪(,2] B.(﹣∞,2] C.(﹣∞,)∪[2,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
A
【考点】函数的值域.
【分析】先利用x∈(﹣∞,1)∪[2,5),求出x﹣1的取值范围,再取倒数即可 求出函数y=的值域.
【解答】解:∵x∈(﹣∞,1)∪[2,5),
则x﹣1∈(﹣∞,0)∪[1,4).
∴∈(﹣∞,0)∪(,2].故函数y=的值域为(﹣∞,0)∪(,2]
故选A.
4. 函数的周期是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 函数的定义域为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
∵,
定义域,
解出.
故选.
6. 已知集合,,则实数值为( )
A. 4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
略
7. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是( )
A.lg97 B.lg98 C.lg99 D.2
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次利用对数的运算性质计算每次循环得到的b的值,计算a的值,当a=100时不满足条件a<100,退出循环,输出b的值为lg99.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
a=2,b=lg2,
满足条件a<100,b=lg2+lg=lg3,a=3
满足条件a<100,b=lg3+lg=lg4,a=4
…
满足条件a<100,b=lg98+lg=lg99,a=100
不满足条件a<100,退出循环,输出b的值为lg99.
故选:C.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,利用对数的运算性质计算每次循环得到的b的值是解题的关键,属于基础题.
8. 读下面的程序:
INPUT N
I=1
S=1
WHILE I<=N
S =S*I
I = I+1
WEND
PRINT S
END
上面的程序在执行时如果输入6,那么输出的结果为 ()
A. 6 B. 720 C. 120 D. 1
参考答案:
B
略
9. 将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位后关于直线x=对称,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】H2:正弦函数的图象.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得,k∈Z,由此求得φ的最小值.
【解答】解:把函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,可得y=sin[4(x+φ)+]=sin(4x+4φ+)的图象,
由于所得图象关于直线对称,
∴,∴,
∵φ>0,∴,
故选:B.
10. 有关向量的如下命题中,正确命题的个数为( )
①若?=?,则=②?(?=(?)?
③在△ABC中,,则点P必为△ABC的垂心.
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②,移项化简判断③.
【解答】解:对于①,在等边三角形中,,显然,故①错误;
对于②,?(?表示与共线的向量,( ?)?表示与共线的向量,显然?(?≠(?)?,故②错误;
对于③,若,则()=0,即,
∴PB⊥CA,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,
∴P是△ABC的垂心,故③正确.
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为 .
参考答案:
【考点】H2:正弦函数的图象;H7:余弦函数的图象.
【分析】设x=a与f(x)=sinx的交点为M(a,y1),x=a与g(x)=cosx的交点为N(a,y2),求出|MN|的表达式,利用三角函数的有界性,求出最大值.
【解答】解:设x=a与f(x)=sinx的交点为M(a,y1),
x=a与g(x)=cosx的交点为N(a,y2),
则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|
=|sin(a﹣)|≤.
故答案为:.
【点评】本题考查三角函数的图象与性质,在解决三角函数周期等问题时,我们往往构造函数,利用函数的图象解题.
12. 直线a∥b,b,则a与的位置关系是 ▲ .
参考答案:
或
13. 已知奇函数f(x)满足:(1)定义域为R;(2)f(x)>﹣2;(3)在(0,+∞)上单调递减;(4)对于任意的d∈(﹣2,0),总存在x0,使f(x0)<d.请写出一个这样的函数解析式: .
参考答案:
f(x)=﹣2()
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】分析函数f(x)=﹣2()的定义域,单调性,值域,可得结论.
【解答】解:函数f(x)=﹣2()的定义域为R;
函数f(x)在R上为减函数,故在(0,+∞)上单调递减;
当x→+∞时,f(x)→﹣2,故f(x)>﹣2;
函数的值域为:(﹣2,2),故对于任意的d∈(﹣2,0),总存在x0,使f(x0)<d.
故满足条件的函数可以是f(x)=﹣2(),
故答案为:f(x)=﹣2(),答案不唯一
14. 某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数是 .
参考答案:
600
15. 已知是一个正项等比数列中连续的三项,则 ;
参考答案:
4
16. 已知y=f(2x)的定义域为[﹣1,1],则y=f(log2x)的定义域是 .
参考答案:
[,4]
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由函数?(2x)的定义域为[﹣1,1],知≤2x≤2.所以在函数y=?(log2x)中,≤log2x≤2,由此能求出函数y=?(log2x)的定义域.
【解答】解:∵函数?(2x)的定义域为[﹣1,1],
∴﹣1≤x≤1,
∴≤2x≤2.
∴在函数y=?(log2x)中,≤log2x≤2,
∴≤x≤4.
故答案为:[,4].
17. (3分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1+2x,则= .
参考答案:
﹣9
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 计算题;转化思想.
分析: 先根据已知条件把转化为f(﹣3);再结合奇函数以及x>0时,f(x)=1+2x即可得到结论.
解答: 因为:log8=﹣3;
∴=f(﹣3);
∵y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1+2x,
∴f(﹣3)=﹣f(3)=﹣(1+23)=﹣9.
故答案为:﹣9.
点评: 本题主要考察函数的奇偶性性质的应用.属于基础题目.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义在上的函数是偶函数,且时, ,
(1)求解析式; (2)写出的单调递增区间。(本题满分12分)
参考答案:
(1)时,-x>0 ∵时
∴ (2分)
∵是偶函数, (4分) 时,(6分)
; (8分)
(2), (12分)
19. 已知.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并予以证明;
(3)求使的的取值范围.
参考答案:
解:(1) …………………………………………………………………(2分)
所以函数的定义域为………………………………………………………(3分)
(2) 任意取,则……………………………………………………(4分)
即…………………………………………………………………(6分)
所以函数是奇函数.…………………………………………………………………(7分)
(3) 由,可得,即
…………………………………………………………(8分)
……………………………………………………(9分)
所以,
略
20. (Ⅰ)已知,,求的最小值。
(Ⅱ)已知,求证:。
参考答案:
解:(Ⅰ) …… 5分
当且仅当时取等号, 故的最小值是…… 7分
(Ⅱ)证明:∵
∴…12分
∴……… 14分
略
21. 如图,点A,B是单位圆O上的两点,点C是圆O与x轴正半轴的交点,将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB.
(1)若A的坐标为(,),求点B的横坐标;
(2)求|BC|的取值范围.
参考答案:
【考点】任意角的三角函数的定义;三角函数线.
【分析】(1)利用三角函数的定义可得cosα=,sinα=,∠COB=α+,利用两角和的余弦可求得cos(α+)=,从而可得点B的横坐标;
(2)先求|BC|2=2﹣2cos(α+)的取值范围,再开方即可求得|BC|的取值范围.
【解答】解:(1)由于A的坐标为(,),由三角函数的定义知,cosα=,sinα=…2分
又∠COB=α+,
∴cos(α+)=cosαcos﹣sinαsin=…5分
∴点B的横坐标为…6分
(2)|BC|2=2﹣2cos(α+)…9分
∵0<α<,故<α+<,
∴cos(α+)∈(﹣,﹣),
∴|BC|2∈(1,2+),
∴|BC|∈(1,)…12分
22. 若f(x)是定义在(0,+∞),对一切x,y>0,满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0
(1)证明:f(x)在(0,+∞)是增函数;
(2)若f(2)=1,解不等式f(x+3)﹣f()<2.
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】综合题;转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用函数单调性的定义即可证明f(x)在定义域上是增函数;
(2)将不等式f(x+3)﹣f()<2.行等价转化,利用函数的单调性进行求解.
【解答】(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则>1,则f()>0,
又f(x?y)=f(x)+f(y),
∴f(x1)+f()=f(x2),
则f(x2)﹣f(x1)=f()>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在定义域内是增函数.
(2)解:∵f(2)=1,
∴f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2,即f(4)=2,
则不等式f(x+3)﹣f()<2等价为f(x+3)﹣f()<f(4),
即f(x+3)<f()+f(4)=f(),
则不等式等价为,即,
即﹣3<x<,
即不等式的解集为(﹣3,).
【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式的求解,根据抽象函数的关系,利用赋值法是解决抽象函数的基本方法,