河北省唐山市玉田县彩亭桥中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若为两个不同的平面,m、n为不同直线,下列推理:
①若;
②若直线;
③若直线m//n,;
④若平面直线n;
其中正确说法的序号是
A. ③④ B.①③④ C.①②③④ D.①④
参考答案:
B
略
2. 函数的部分图象为
参考答案:
A
3. 设等比数列的公比为,前项和为.则“”是“”的( )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
A
若,显然不成立。由得,即,所以。若,则,满足。当时,满足,但,所以“”是“”的充分而不必要条件,选A.
4. 已知幂函数f(x)=xn,n∈{﹣2,﹣1,1,3}的图象关于y轴对称,则下列选项正确的是( )
A.f(﹣2)>f(1) B.f(﹣2)<f(1) C.f(2)=f(1) D.f(﹣2)>f(﹣1)
参考答案:
B
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】求出幂函数的解析式,根据函数的单调性判断函数值的大小即可.
【解答】解:幂函数f(x)=xn,n∈{﹣2,﹣1,1,3}的图象关于y轴对称,
则n=﹣2,则f(x)=,f(﹣2)=f(x),
而f(x)在0,+∞)递减,
∴f(﹣2)=f(2)<f(1),
故选:B.
5. 已知函数的定义域为,且对于任意的都有,若在区间上函数恰有四个不同零点,则实数的取值范围为( )
参考答案:
D
略
6. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
先确定函数的定义域,再判断函数的奇偶性和值域,由此确定正确选项。
【详解】解:函数的定义域为,,
则函数为偶函数,图象关于y轴对称,排除B,
当时,,排除A,
当时,,排除C,
故选:D.
【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质,属于基础题。
7. 若平面向量与的夹角是180°,且,则的坐标为( )
A. (-3,6) B. (3,-6) C. (6,-3) D. (-6,3)
参考答案:
B
8. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )
(A) (B)160 (C) (D)
参考答案:
C
略
9. 在中,已知,则的面积是
A. B. C.或 D.
参考答案:
【知识点】正弦定理的应用.C8
【答案解析】C 解析:在△ABC中,由余弦定理可得42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°,解得 BC=4,或BC=8.
当BC=4时,△ABC的面积为ABBCsinB =×4×4×=4,
当BC=8时,△ABC的面积为ABBCsinB =×4×8×=8,故选C.
【思路点拨】在△ABC中,由余弦定理可得BC的值,再由△ABC的面积为ABBCsinB 运算求得结果.
10. 已知函数f(x)在定义域R内是增函数,且f(x)<0,则g(x)=x2f(x)的单调情况一定是( )
A.在(﹣∞,0)上递增 B.在(﹣∞,0)上递减 C.在R上递减 D.在R上递增
参考答案:
A
【考点】3E:函数单调性的判断与证明.
【分析】根据函数f(x)在定义域R内是增函数则f'(x)>0在定义域R上恒成立,然后求出导函数g'(x),讨论x,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间.
【解答】解:∵函数f(x)在定义域R内是增函数
∴f'(x)>0在定义域R上恒成立
∵g(x)=x2f(x)
∴g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)
当x<0时,而f(x)<0,则2xf(x)>0,x2f'(x)>0所以g'(x)>0
即g(x)=x2f(x)在(﹣∞,0)上递增
当x>0时,2xf(x)<0,x2f'(x)>0,则g'(x)的符号不确定,从而单调性不确定
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列a1,a2,…,a8,满足a1=2013,a8=2014,且an+1﹣an∈{﹣1,,1}(其中n=1,2,…,7),则这样的数列{an}共有 个.
参考答案:
252
【考点】数列的函数特性.
【专题】创新题型;排列组合.
【分析】运用数列相邻两项差的值,可能够取值的情况分类讨论,转化为排列组合问题求解.
【解答】解:∵数列a1,a2,…,a8,满足a1=2013,a8=2014,
∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1,
an+1﹣an∈{﹣1,,1}(其中n=1,2,…,7),共有7对差,
可能an+1﹣an=﹣1,或an+1﹣an=,或an+1﹣an=1.
设﹣1有x个,有y个,1有7﹣x﹣y个,
则想x(﹣1)++1×(7﹣x﹣y)=1,
即6x+2y=18,x,y∈[0,7]的整数,
可判断;x=1,y=6;x=2,y=3;x=3,y=0,三组符合
所以共有数列C+CCC+=7+210+35=252.
故答案为:252
【点评】本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力,转化能力.
12. 若函数f(x)=(a∈R)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[﹣,]
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】去掉绝对值,根据f′(x)≥0,得到a的范围即可.
【解答】解:f(x)=;
∵x∈[1,2];
∴a≤时,f(x)=,f′(x)=;
由f′(x)≥0;解得:a≥﹣≥﹣,
即﹣≤a≤时,f′(x)≥0,f(x)在[1,2]上单调递增;
即a的取值范围是:[﹣,].
故答案为:[﹣,].
13. 直线与圆相交于两点(其中是实数),且是直角三角形(是坐标原点),则点与点之间距离的最大值为。
参考答案:
【知识点】直线与圆的位置关系 H4
由是直角三角形可知圆心O到直线的距离为,所以,即,令 则 .
【思路点拨】先由已知条件得出a,b满足的关系式,再利用三角换元法求最值,也可直接利用椭圆的几何性质求最值.
14. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
参考答案:
12
【分析】由已知中当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,先求出f(﹣2),进而根据奇函数的性质,可得答案.
【解答】解:∵当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,
∴f(﹣2)=﹣12,
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(2)=12,
故答案为:12
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数求值,难度不大,属于基础题.
15. 已知幂函数的图像经过点,则_________.
参考答案:
16. 已知函数f(x)=,若存在实数b,使得函数g(x)=f(x)﹣b有两个不同的零点,则a的取值范围是 .
参考答案:
2<a<4
【考点】52:函数零点的判定定理.
【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围.
【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,
∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,
由于y=x2在[0,a)递增,y=2x在[a,+∞)递增,
要使函数f(x)在[0,+∞)不单调,
即有a2>2a,由g(a)=a2﹣2a,g(2)=g(4)=0,
可得2<a<4.
故答案为:2<a<4.
【点评】本题考查函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合的数学思想,属于中档题.
17. 已知关于的方程的两个实根分别为,且,则的取值范围是
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试,其中数学成绩如下表所示:
数学成绩分组
[50,70)
[70,90)
[90,110)
[110,130)
[130,150]
人数
60
400
360
100
(Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,年级将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为75分,求他被抽中的概率;
(Ⅱ)年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导,请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数;
(III)请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分.
参考答案:
(Ⅰ) ;(Ⅱ)人;(III)分.
试题分析:(Ⅰ)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为:,计算即得.
(Ⅱ)由题意得.估计“数学学困生”人数为
.
(III)该学校本次考试的数学平均分.
.
试题解析:(Ⅰ)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为:,
故甲同学被抽到的概率 …………………4分
(Ⅱ)由题意得. ……………6分
设估计“数学学困生”人数为
.
故估计该中学“数学学困生”人数为人 ……………………8分
(III)该学校本次考试的数学平均分.
估计该学校本次考试的数学平均分为分. ……………12分
考点:1.分层抽样;2.平均数.
19. 已知数列满足:,,,
(Ⅰ)求证:数列为等比数列;
(Ⅱ)求使不等式成立的所有正整数的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)由得,
则是以为首项,以为公比的等比数列 ……… .4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,累加可得.8分
则即为:,
显然时无解,则易求得12分
注:若由得到即亦即,从而得出结果可酌情给分.
略
20. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知函数.
(I)若不等式的解集为,求实数a的值;
(II)在(I)的条件下,若存在实数使成立,求实数的取值范围
参考答案:
(Ⅰ)由得,∴,即,
∴,∴。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令,
则,
∴的最小值为4,故实数的取值范围是。
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=lnx-kx (k∈R).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)有零点,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)设函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,若x1·x2>em恒成立,求实数m的取值范围
(其中e为自然对数的底数).
参考答案:
22. 如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点(不包括端点).PM⊥平面ABCD交AD于点M,MN⊥BD于点N.
(1)设AP=x,将PN长表示为x的函数;
(2)当PN