广东省梅州市华阳中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知p:,;q:.若“”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-∞,3) C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
参考答案:
C
由“”是真命题,则为真命题,也为真命题,
若为真命题,则不等式恒成立,,∴.
若为真命题,即,所以.即.故选C.
2. 已知为虚数单位,为实数,复数在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
3. 已知函数是奇函数,是偶函数,且=( )
A.-2 B.0 C.2 D.3
参考答案:
A
4. 已知,,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
分析:根据同角三角函数关系由求得,于是可得,然后再根据两角和的余弦公式求解即可.
详解:∵,,
∴,
∴,
.
∴.
故选A.
点睛:本题属于给值求值的问题,考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用,考查学生的计算能力和公式变形能力.
5. 已知等差数列{an}的通项公式an=,设An=|an+an+1+…+an+12|(n∈N*),当An取得最小值时,n的取值是( )
A.16 B.14 C.12 D.10
参考答案:
D
【考点】等差数列的性质.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差,且求得数列{an}的前15项大于0,第16项等于0,第17项及以后项小于0.由此可知只有第16项为中间项时An=|an+an+1+…+an+12|最小,此时n=10.
【解答】解:由an=,可得等差数列的首项为a1=12,公差d=,
则数列{an}为递减数列,由an==0,解得n=16.
∴数列{an}的前15项大于0,第16项等于0,第17项及以后项小于0.
而an+an+1+…+an+12为数列中的13项和,
∴只有第16项为中间项时An=|an+an+1+…+an+12|最小,此时n=10.
故选:D.
【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,关键是对题意的理解,是基础题.
6. 已知直线x+y﹣k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B,O是坐标原点,且有,那么k的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】9V:向量在几何中的应用;J8:直线与圆相交的性质.
【专题】11 :计算题;5A :平面向量及应用.
【分析】利用平行四边形法则,借助于直线与圆的位置关系,利用直角三角形,即可求得结论.
【解答】解:设AB中点为D,则OD⊥AB
∵,
∴
∴
∵
∴
∵直线x+y﹣k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B,
∴
∴4>
∴4>
∵k>0,∴
故选C.
7. 设函数则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0)
参考答案:
D
解答:
将函数f(x)的图像画出来,
观察图像可知会有,解得x<0,
所以满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(-∞,0),故选D.
8. 如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为,为的中点,若为正方形内(含边界)任意一点,则的最大值为( )
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D)
参考答案:
D
略
9. 下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m等于( )
A.10 B.5 C.15 D.25
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用椭圆的定义,化简求解即可.
【解答】解:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,椭圆+=1可知,椭圆的焦点坐标在x轴,
∴a=5,∴a2=25,即m=25.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1, x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有.给出下列命题:
①f(3)=0;
②直线x=﹣6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数;
④函数y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上)
参考答案:
①②④
【考点】函数的零点;函数单调性的判断与证明;函数的周期性;对称图形.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(1)、赋值x=﹣3,又因为f(x)是R上的偶函数,f(3)=0.
(2)、f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(﹣x),又因为f (x+6)=f (x),得周期为6,
从而f(﹣6﹣x)=f(﹣6+x),所以直线x=﹣6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴
(3)、有单调性定义知函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为减函数.
(4)、f(3)=0,f(x)的周期为6,所以:f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0.
【解答】解:①:对于任意x∈R,都有f (x+6)=f (x)+f (3)成立,令x=﹣3,则f(﹣3+6)=f(﹣3)+f (3),又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0.
②:由(1)知f (x+6)=f (x),所以f(x)的周期为6,
又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(﹣x),
而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(﹣6+x),f(﹣x)=f(﹣x﹣6),
所以:f(﹣6﹣x)=f(﹣6+x),所以直线x=﹣6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.
③:当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有
所以函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,
因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在[﹣3,0]上为减函数
而f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为减函数.
④:f(3)=0,f(x)的周期为6,
所以:f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0
函数y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点.
故答案为:①②④.
【点评】本题重点考查函数性质的应用,用到了单调性,周期性,奇偶性,对称轴还有赋值法求函数值.
12. 设随机向量η服从正态分布N(1,σ2),若P(η<﹣1)=0.2,则函数f(x)=x没有极值点的概率是 .
参考答案:
0.7
【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【分析】令f′(x)=0至多只有1解得出η的范围,再利用正态分布的对称性得出f(x)无极值点的概率.
【解答】解:f′(x)=x2+2x+η2,
若f(x)没有极值点,则f′(x)=0最多只有1个解,
∴△=4﹣4η2≤0,
解得η≤﹣1或η≥1.
∵η~N(1,σ2),∴P(η≥1)=0.5,
又P(η<﹣1)=0.2,
∴P(η≤﹣1或η≥1)=0.5+0.2=0.7.
故答案为:0.7.
13. 实数x,y满足不等式组:,若z=x2+y2,则z的最大值是 .
参考答案:
4
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,再由z=x2+y2的几何意义,即可行域内动点到原点距离的平方求解.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方,
∴当动点(x,y)为A(0,2)时,z有最大值为4.
故答案为:4.
14. 直线被圆截得的弦长为 .
参考答案:
将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为,圆心到直线的距离,以及圆半径构成了一个直角三角形,因此。
15. 已知一组样本数据,且,平均数,则该组数据的方差为________
参考答案:
2
【分析】
由题,先求得的值,再利用方差公式,将值带入求解即可.
【详解】由题意知,
又
=
=2
故答案为:2
【点睛】本题考查了方差,熟悉平均数、方差的公式以及合理的运用是解题的关键,属于较为基础题.
16. 已知点在直线上,点Q在直线上,PQ的中点
,且,则的取值范围是________.
参考答案:
17. 设满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最大值为 __________.
参考答案:
2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(1) 曲线C: 经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线,求的值。
(2) 已知在区间(1,2)内存在两个极值点,求证:。
参考答案:
(1)
(2)由条件可知,把相加得
,得证.
19. 已知函数f(x)=x﹣1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)当a=1的值时,若直线l:y=kx﹣1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)依题意,f′(1)=0,从而可求得a的值;
(Ⅱ)f′(x)=1﹣,分①a≤0时②a>0讨论,可知f(x)在∈(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,从而可求其极值;
(Ⅲ)令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+,则直线l:y=kx﹣1与曲线y=f(x)没有公共点?方程g(x)=0在R上没有实数解,分k>1与k≤1讨论即可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=x﹣1+,得f′(x)=1﹣,
又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,
∴f′(1)=0,即1﹣=0,解得a=e.
(Ⅱ)f′(x)=1﹣,
①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数,所以f(x)无极值;
②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,x=lna,
x∈(﹣∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0;
∴f(x)在∈(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=lna处取到极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值.
综上,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=lna处取到极小值lna,无极大值.
(Ⅲ)当a=1时,f(x)=x﹣1+,令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+,
则直线l:y=kx﹣1与曲线y=f(x)没有公共点,
等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.
假设k>1,此时g(0)=1>0,g()=﹣1+<0,
又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在定理可知g