安徽省安庆市同安中学2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 向量，与其共线且满足的向量是（ ）
A． B．（4，－2，4）
C．（－4，2，－4） D．（2，－3，4）
参考答案：
C
2. 在空间直角坐标系中，已知A（1，﹣2，3），B（0，1，﹣1），则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】两点间的距离公式．
【分析】直接利用空间距离公式求解即可．
【解答】解：在空间直角坐标中，已知A（1，﹣2，3），B（0，1，﹣1），
则AB两点间的距离为： =．
故选C．
3. 复数z=的共轭复数是（ ）
A．
2+i
B．
2﹣i
C．
﹣1+i
D．
﹣1﹣i
参考答案：
D
略
4. 直线的斜率是( )
A. B. C. D.
参考答案：
5. 如图1，将一个实心小球放入玻璃杯（不计厚度）中，已知玻璃杯的侧面可以看成由图2的曲线绕y轴旋转一周所形成，若要求小球接触到玻璃杯底部O，则小球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
绘制截面图如图所示，设圆的方程为，
与联立可得：，
当时有：，
构造函数，
原问题等价于函数y=r与函数g(x)至多只有一个交点，
且：，据此可知：
函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数的最小值为：.
则r的最大值为,即小球的最大半径为.
本题选择D选项.
6. 已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2:1，若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的中心为M，四面体内部一点O到各面的距离都相等，则AO：OM=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
7. 椭圆的中心在原点，左右焦点在轴上，分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭
圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
试题分析：如图所示，设椭圆的方程为，所以时，，所以
，又，所以，所以，所以，，所以，故选D．
考点：椭圆的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程，直线的斜率公式，椭圆的几何性质等知识点的综合考查，本题的解答中根据椭圆的标准方程表示椭圆的交点及顶点坐标，再根据椭圆的方程，已知椭圆上的点的横坐标求出其纵坐标，根据两点坐标求直线的斜率，以及两平行直线的斜率的关系，即可求解离心率，属于基础题．
8. 下列说法错误的是（ ）．
A．平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；
B．一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
C．一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
D．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
参考答案：
C
9. 下列函数f（x）中，满足“?x1x2∈（0，+∞）且x1≠x2有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（ ）
A．f（x）=﹣x B．f（x）=x3 C．f（x）=lnx+ex D．f（x）=﹣x2+2x
参考答案：
A
【考点】3F：函数单调性的性质．
【分析】由已知可得满足条件的函数在（0，+∞）上为减函数，分析四个答案中函数的单调性，可得结论．
【解答】解：若“?x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，
则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
A中，f（x）=﹣x在（0，+∞）上为减函数，
B中，f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数，
C中，f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上为增函数，
D是，f（x）=﹣x2+2x在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
故选：A．
10. 在2012年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：
，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为 ．
参考答案：
1
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
【解答】解：点P（2，）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为：1．
12. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为_____．
参考答案：
【分析】
根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值.
【详解】随机变量服从正态分布，∴，
由，得，
又，
∴，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.
13. 函数的图像在点处的切线所对应的一次函数的零点为，其中.若，则的值是______．
参考答案：
14. 设函数, = 9,则_____.
参考答案：
6
15. 在处有极小值，则实数为 .
参考答案：
1
16. 若均为实数），请推测
参考答案：
a=6, b=35
略
17. “x<－1”是“x2－1>0”的____▲____条件.
参考答案：
充分而不必要
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题10分)
；
.
参考答案：
（1）2x-3y+14=0 (2)x-2y-4=0
略
19. 对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．
（1）若函数f（x）=2x+﹣5，求此函数的不动点；
（2）若二次函数f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有两个不同的不动点，求实数a的取值范围．
参考答案：
【分析】（1）由定义可得f（x）=x，解方程即可得到所求不动点；
（2）由题意可得ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有两个不等的实根，讨论a＞0或a＜0和判别式大于0，对称轴介于x=1的右边，x=1的函数值大于0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=2x+﹣5，
由f（x）=x，即x+﹣5=0，
即为x2﹣5x+4=0，解得x=1和4，
则此函数的不动点为1，4；
（2）二次函数f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有两个不同的不动点，
即为ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有两个不等的实根，
当a＞0时，△=4﹣12a＞0，且a﹣2+3＞0，＞0，解得0＜a＜；
当a＜0，由于对称轴x=＜0，在x∈（1，+∞）上没有两个不等的实根，不成立．
综上可得，0＜a＜．
则实数a的取值范围为（0，）．
20. 如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．
（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；
（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）设正方体的棱长为2，证明EF⊥面AEB．EB⊥AE，推出EB⊥面AEFB．
（Ⅱ）取EF的中点H，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，说明∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角，在Rt△GHO中，求解二面角G﹣BF﹣E的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，
在Rt△BGF中，
所以…
∵EF⊥AE，EF⊥EB，∴EF⊥面AEB．
∵AD∥EF，∴AD⊥面AEB，∴AD⊥AB
所以在Rt△BGF中，得…
在△AEB中，又AE=BE=1∴EB⊥AE
又EF⊥EB∴EB⊥面AEFB…
（Ⅱ）解：取EF的中点H，则GH⊥EF，由（Ⅰ）知，EB⊥面AEFB，
所以面EFCB⊥面AEFB，所以GH⊥面EFCB，
作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，由三垂线定理知，GO⊥BF，
所以∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角．…
在Rt△GHO中，GH=1，，
所以，所以
所以二面角G﹣BF﹣E的余弦值为．…
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
21. 设集合，.
（1）若，求A∩B；
（2）若，求实数m的取值范围．
参考答案：
（1） ；（2）m的取值范围是（0，].
试题分析：（1）化简集合A，当m=2时，求解集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B；（2）根据A?B，建立条件关系即可求实数m的取值范围
试题解析：
（1）集合A={x|2﹣5≤2﹣x≤4}={x|2﹣5≤2﹣x≤22}={x|﹣2≤x≤5}
当m=2时，B={x|x2+2mx﹣3m2＜0}={x|﹣6＜x＜2}，
那么：A∩B={x|﹣2≤x＜2}．
（2）B={x|x2+2mx﹣3m2＜0}
由x2+2mx﹣3m2＜0
可得：（x+3m）（x﹣m）＜0
∵m＞0∴﹣3m＜x＜m故得集合B={x|﹣3m＜x＜m}，要使B?A成立，只需﹣3m≥﹣2且m≤5，解得：m≤．所以：0＜m≤ .
综上可得m的取值范围是（0，]．
点睛：解决集合问题应注意的问题（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．（3）防范空集．在解决有关，等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解．
22. 已知数列，
（Ⅰ）记，求的取值范围；
（Ⅱ）记，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由。
参考答案：
（1）
（2）