安徽省宣城市第十二中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
参考答案:
B
试题分析:每一组的频率等于本组矩形的面积,所以的面积是,所以这组的频数就是,故选A.
考点:频率分布直方图
2. 下列四个命题中:
①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;
②“若k>0,则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题;
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.
其中真命题的序号是( )
A.②、③ B.③、④ C.①、④ D.①、②
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,逆命题:三个内角均为60°的三角形是等边三角形;
②,原命题为真,其逆否命题与原命题同真假;
③,“全等三角形的面积相等”的否命题:不全等三角形的不面积相等;
④,“若ab=0,则a=0或b=0”.
【解答】解:对于①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题:三个内角均为60°的三角形是等边三角形,故为真命题;
对于②,“若k>0,则方程x2+2x﹣k=0的△=4+4k>0,有实根”,∴原命题为真,其逆否命题与原命题同真假,故为真命题;
对于③,“全等三角形的面积相等”的否命题:不全等三角形的不面积相等,故为假命题;
对于④,“若ab≠0,则a≠0”的否命题:“若ab=0,则a=0”,故为假命题.
故选:D
【点评】本题考查了命题的四种形式的转换,及真假判定,属于基础题.
3. 曲线上的 点到直线的最短距离是 ( )
A. B. C. D.0
参考答案:
A
略
4. 如图,一艘船上午10:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午11:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距9n mile,则此船的航速是( )
A.16 n mile/h B.18 n mile/h
C.32 n mile/h D.36 n mile/h
参考答案:
D
5. 不等式组表示的平面区域的面积为
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
6. 我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为”( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】等比数列的通项公式.
【专题】方程思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列,由等比数列的求和公式可得首项,进而由通项公式可得.
【解答】解:设该女第n天织布为an尺,且数列为公比q=2的等比数列,
则由题意可得=5,解得a1=,
故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=,
故选:D.
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题.
7. 已知,则=
A.-4 B.-2 C.0 D.2
参考答案:
A
8. 在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 设,曲线在点处切线的斜率为2,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 不论取何值,方程所表示的曲线一定不是( )
A 抛物线 B 双曲线 C 圆 D 直线
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知O为坐标原点,圆C的方程为,点A(2,0),点B在圆C上运动,若动点D满足,则点D的轨迹方程是▲ ;的取值范围是▲.
参考答案:
略
12. 已知动直线l的方程:cosα?(x﹣2)+sinα?(y+1)=1(α∈R),给出如下结论:
①动直线l恒过某一定点;
②存在不同的实数α1,α2,使相应的直线l1,l2平行;
③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上;
④动直线l可表示坐标平面上除x=2,y=﹣1之外的所有直线;
⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线;
其中正确结论的序号是 .
参考答案:
②③
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,圆(x﹣2)2+(y+1)2=1上任一点P(2+cosα,﹣1+sinα),则点P处的切线为cosα?(x﹣2)+sinα?(y+1)=1(α∈R);
②,当≠0时,直线的斜率k=﹣,存在不同的实数α1,α1,使cotα1=cotα1,相应的直线l1,l2平行;
③,cosα?(x﹣2)+sinα?(y+1)=1?,所有使的点(x,y)都不在其上;
对于④,⑤由③可判定.
【解答】解:对于①,圆(x﹣2)2+(y+1)2=1上任一点P(2+cosα,﹣1+sinα),则点P处的切线为cosα?(x﹣2)+sinα?(y+1)=1(α∈R),直线不会过一定点,故错;
对于②,当≠0时,直线的斜率k=﹣,存在不同的实数α1,α1,使cotα1=cotα1,相应的直线l1,l2平行,故正确;
对于③,cosα?(x﹣2)+sinα?(y+1)=1?,所有使的点(x,y)都不在其上,故正确;
对于④,⑤由③可得错.
故答案为:②③
【点评】本题考查了命题真假的判定,涉及到直线方程的知识,属于基础题.
13. 曲线与直线及x轴围成的图形的面积为 .
参考答案:
由曲线与直线及轴围成的图形的面积为
14. 将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积的增加值为 。
参考答案:
12a2
15. 已知命题p:方程有两个不等的负实根,命题q:方程无实根.若p或q为真,p且q为假,求实数的取值范围.
参考答案:
略
16. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为98、63,则输出的a= .
参考答案:
7
17. 学校准备从5位报名同学中挑选3人,分别担任2014年江苏省运动会田径、游泳和球类3个不同比赛项目的志愿者.已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者,则不同的安排方法共有 _________ 种.(结果用数字表示)
参考答案:
7
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,(其中).
(1)求及;
(2)试比较与的大小,并用数学归纳法给出证明过程.
参考答案:
(1);;(2)答案见解析.
试题分析:(1)采用赋值法,令,右边==左边=,也采用赋值法,令;(2)根据(1)得到,等于比较与的大小,首先赋几个特殊值,采用不完全归纳法,得到答案,然后再用数学归纳法证明.
试题解析:(1)取,则; 2分
取,,4分
(2)要比较与的大小,即比较与的大小.
当时,;
当时,;
当时,; 6分
猜想:当时,,下面用数学归纳法证明: 7分
由上述过程可知,时结论成立;
假设当时结论成立,即
两边同乘以3得:
时,,,
,即时结论也成立.
当时,成立. 11分
综上所述,当或时,;
当时,. 12分
考点:1.二项式定理中的赋值法;2.数学归纳法;3.不完全归纳法.
19. (本题满分14分) 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。
(1)若以AB线段为直径的圆过坐标原点,求实数a的值。
(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线对称?说明理由。
参考答案:
(1)联立方程,消去y得:(3-a2)x2-2ax-2=0.
设A(),B(),那么:。
由于以AB线段为直径的圆经过原点,那么:,即。
所以:,得到:,解得a=
(2)假定存在这样的a,使A(),B()关于直线对称。
那么:,两式相减得:,从而
因为A(),B()关于直线对称,所以
代入(*)式得到:-2=6,矛盾。
也就是说:不存在这样的a,使A(),B()关于直线对称。
20. 已知双曲线与圆相切,过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切.
(1)求双曲线的方程;
(2)是圆上在第一象限内的点,过且与圆相切的直线与的右支交于、两点,的面积为,求直线的方程.
参考答案:
(1)∵双曲线与圆相切,∴ , ………………2分
由过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切,得,进而
故双曲线的方程为 ………………………………4分
(2)设直线:,,,
圆心到直线的距离,由得………6分
又的面积,∴ …………10分
由, 得,,此时式
∴直线的方程为. …………………12分
略
21. 数列{an}满足,,.
(1)设,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
参考答案:
(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,即可证得;
(2)由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1,进而利用累加求通项公式即可.
试题解析:
(1)证明 由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.
于是(ak+1-ak)=(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.
又a1=1,所以an=n2-2n+2,经检验,此式对n=1亦成立,
所以,{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
点睛:本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有:(1)等差数列、等比数列(先根据条件判定出数列是等差、等比数数列);(2)累加法,相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式;(3)累乘法,相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项;(4)构造法,形如的递推数列求通项往往用构造法,即将利用待定系数法构造成的形式,再根据等比数例求出的通项,进而得出的通项公式.
22. (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥面ABCD, PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)证明:平面BDE⊥平面PBC.
参考答案:
解:(1)证明:连结交于点,连结
为的中点 又为中点为的中位线……4
又面………………6
(2)
,面 ………………………8
,又,为中点
面,又面………………………10
面面 ……