广东省汕头市兴华中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. ABC的外接圆圆心为O,半径为2, ,且 , 在方向上的投影为( )
A.-3 B C. D.3
参考答案:
C
2. 若实数满足的取值范围为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:令,即,表示一条直线;又方程可化为,表示圆心为,半径的圆;由题意直线与圆有公共点,∴圆心到直线的距离 ,∴ ,即 的取值范围为.
故选A.
考点:可转化为直线与圆的位置关系的问题.
3. 已知点P(m,n)在椭圆上,则直线mx+ny+1=0与椭圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
参考答案:
D
考点:椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:由点P在椭圆上得到m,n的关系,把n用含有m的代数式表示,代入圆心到直线的距离中得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径,则答案可求.
解答: 解:∵P(m,n)在椭圆+=1上,
∴,,
圆x2+y2=的圆心O(0,0)到直线mx+ny+1=0的距离:
d==,
∴直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为相交或相切.
故选:D.
点评:本题考查了椭圆的简单性质,考查了直线和圆的位置关系,是基础题.
4. 棱台上、下底面面积之比为,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析:中截面的面积为个单位,
5. 已知动点P(x,y)满足,则点P的轨迹是( )
A.两条相交直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆
参考答案:
B
【考点】轨迹方程.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】分别令f(x)=,g(x)=,他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等,利用抛物线的定义推断出答案.
【解答】解:令f(x)=,则其几何意义为点(x,y)到(1,2)的距离,
令g(x)=,其几何意义为(x,y)点到直线y=3x+4y+12的距离,
依题意二者相等,即点到点(1,2)的距离与到定直线的距离相等,进而可推断出P的轨迹为抛物线.
故选B
【点评】本题主要考查了抛物线的定义,点的轨迹方程问题.关键是对方程的几何意义的灵活应用.
6. 下列命题中正确的是( )
A.若a>b,c<d,则a﹣c<b﹣d B.若a>b>0,c<d<0则ac<bd
C.若a>b>0,c<0,则>< D.若a>b>0,则a﹣a>b﹣b
参考答案:
B
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析: 由不等式的可乘性和可加性,即可判断A;由不等式的可乘性,以及正向不等式的可积性,即可判断B;
由不等式的可乘性和反比例函数的性质,即可判断C;运用举反例的方法,比如a=1,b=,即可判断D.
解答: 解:对于A.若a>b,c<d,即﹣c>﹣d,则有a﹣c>b﹣d,则A错;
对于B.若a>b>0,c<d<0,则﹣c>﹣d>0,则有﹣ac>﹣bd,即ac<bd,则B对;
对于C.若a>b>0,c<0,则0<<,即有>,则C错;
对于D.若a>b>0,则可举a=1,b=,则a﹣a=1,b﹣b=,显然1<,则D错.
故选B
点评: 本题考查不等式的性质及运用,考查反例法判断命题的真假,考查运算能力,属于基础题和易错题.
7. 下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.②③④ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①⑤
参考答案:
B
考点:归纳推理;演绎推理的意义
8. 已知:p:x<k,q:≤1,如果p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是
A. B. C. (-∞,—1) D.
参考答案:
D
9. 抛物线C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线C2: 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=
D
参考答案:
D
10. 设变量满足,则目标函数的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1>0的解集是R;②函数f(x)=logmx是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则实数m的取值范围是________.
参考答案:
m≥1或m=0
12. 已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+1,则f(1)+f′(1)=________.
参考答案:
略
13. 若实数x,y满足不等式组,则z=x+2y的最大值为 .
参考答案:
6
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图,将直线l:z=x+2y进行平移,并观察它在轴上截距的变化,可得当l经过区域的右上顶点A时,z达到最大值.由此求出A点坐标,不难得到本题的答案.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如右图,是位于△ABO及其内部的阴影部分.
将直线l:z=x+2y进行平移,可知越向上平移,z的值越大,当l经过区域的右上顶点A时,z达到最大值
由解得A(2,2)
∴zmax=F(2,2)=2+2×2=6
故答案为:6
14. 已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1 相切,则a= .
参考答案:
8
15. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点,
则双曲线的渐近线方程为 .
参考答案:
16. 抛物线的焦点坐标为 。
参考答案:
略
17. 已知函数则的值为 ____________
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地,东车站每年最多运280万吨煤,西车站每年最多运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,使总运费最少?
参考答案:
解析:设甲煤矿调往东站的煤为万吨,乙煤矿调往东站的煤为万吨,则
那么总运费:万元,
即,而满足,作出可行域,
(略)设直线与轴交点为,则.把直线向上平移至M时最小。所以甲煤矿生产的煤全部运往西站;乙煤矿向东站运280万吨,向西站云20万吨时,总运费最少。
19. 在学习数学的过程中,我们通常运用类比猜想的方法研究问题.
(1)已知动点P为圆O:外一点,过P引圆O的两条切线PA、PB,A、B为切点,若,求动点P的轨迹方程;
(2)若动点Q为椭圆M:外一点,过Q引椭圆M的两条切线QC、QD,C、D为切点,若,求出动点Q的轨迹方程;
(3)在(2)问中若椭圆方程为,其余条件都不变,那么动点Q的轨迹方程是什么(直接写出答案即可,无需过程).
参考答案:
解:(1)由切线的性质及可知,四边形OAPB为正方形,
所以点P在以O为圆心,长为半径的圆上,且,
进而动点P的轨迹方程为………………………………………………3分
(2)设两切线为,
①当与轴不垂直且不平行时,设点Q的坐标为则,
设的斜率为,则,的斜率为,
的方程为,联立,
得,………………5分
因为直线与椭圆相切,所以,得
化简,
进而
所以……………………………………………7分
所以是方程的一个根,
同理是方程的另一个根,
,得,其中,…………………………9分
②当轴或轴时,对应轴或轴,可知;
因为满足上式,综上知:点P的轨迹方程为.……10分
(3)动点Q的轨迹方程是…………………………………12分
20. 设角A,B,C是△ABC的三个内角,已知向量m=(sinA+sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且m⊥n.
(1)求角C的大小;
(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.
参考答案:
(1)由题意得m·n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0,即sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,由正弦定理得c2=a2+b2-ab,再由余弦定理得cosC==.
因为0
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