河南省驻马店市西平县权寨镇第二中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线与圆有公共点,且圆在点的切线与双曲线的渐近线平行,则双曲线的离心率为
A. B. C.或 D.以上都不对
参考答案:
B
2. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A. B. C. D.π
参考答案:
C
4. 已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数).下面四个图象中,的图象大致是( )
参考答案:
C
略
5. 在数列中,若则该数列的通项=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
D
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】根据条件,依次运行程序,即可得到结论.
【解答】解:若x=t=2,
则第一次循环,1≤2成立,则M=,S=2+3=5,k=2,
第二次循环,2≤2成立,则M=,S=2+5=7,k=3,
此时3≤2不成立,输出S=7,
故选:D.
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础.
7. 在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】正弦定理.
【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC
【解答】解:根据正弦定理,,
则
故选B
8. 在等差数列中,,则的前5项和= ( )
(A).7 (B).15 (C).20 (D).25
参考答案:
B
9. 将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验,每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
参考答案:
C
【分析】
根据题意首先把4名学生分为3组,则有种分法,再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室,则有种分法,进而再利用分步计数原理计算出答案.
【详解】因为4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验,每个实验室至少分配1名学生,
所以首先把4名学生分为3组,则有一个组有2人,共有种分法,
再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室,则有种分法,
所以共有种分法.
故选C.
【点睛】本题考查分步计数原理以及排列、组合的综合应用,在处理分组,分配问题时,常常采用先分组再分配的方法,属于基础题.
10. 数列{an}是等差数列,若<﹣1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取的最小正值时,n=( )
A.11 B.17 C.19 D.21
参考答案:
C
【考点】等差数列的性质.
【分析】根据题意判断出d<0、a10>0>a11、a10+a11<0,利用前n项和公式和性质判断出S20<0、S19>0,再利用数列的单调性判断出当Sn取的最小正值时n的值.
【解答】解:由题意知,Sn有最大值,所以d<0,
因为<﹣1,所以a10>0>a11,
且a10+a11<0,
所以S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0,
则S19=19a10>0,
又a1>a2>…>a10>0>a11>a12
所以S10>S9>…>S2>S1>0,S10>S11>…>S19>0>S20>S21
又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9(a10+a11)<0,
所以S19为最小正值,
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若某同学把英语单词“”的字母顺序写错了,则可能出现的错误写法共有 种(以数字作答).
参考答案:
359
12. 已知直线与x轴交于P点,与双曲线:交于A、B两点,则= ▲ .
参考答案:
13. 设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根,q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是_____
参考答案:
(-∞,-2]∪[-1,3)
14. 已知,(>0,且),如对恒成立,则的取值集合为 。
命题意图:难题。考核单数的应用、恒成立的转化,最重要的是考核理性思维。
参考答案:
15. 《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟。”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则__________.
参考答案:
63.
∵,,,
∴按照以上规律,可得.
故答案为.
16. 椭圆的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2的大小为 .
参考答案:
120°
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|,再利用余弦定理,即可求得结论.
【解答】解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|=4,
∴|PF2|=6﹣|PF1|=2.
在△F1PF2中,cos∠F1PF2==﹣,
∴∠F1PF2=120°.
故答案为:120°
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
17. 已知,则p是q的____▲____条件.(填充分不必要、必要不充分,充分必要,既不充分也不必要)
参考答案:
充分不必要
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)5个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?
(Ⅰ)甲不在排头,也不在排尾;
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起.
参考答案:
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【专题】计算题;转化思想;定义法;排列组合.
【分析】(Ⅰ)甲不在排头,也不在排尾,先排甲,其他人任意排,问题得以解决,
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起,先把甲乙丙三人捆绑在一起,再和另外2人全排,问题得以解决
【解答】解:(Ⅰ)若甲不在排头,也不在排尾,排列的方法有:A31A44=72种;
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起,排列的方法有:A33A33═36种.
【点评】本题考查排列、组合的应用,注意特殊问题的处理方法,如相邻用捆绑法,不能相邻用插空法,属于中档题.
19. (本小题满分10分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0,若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程.
参考答案:
20. (本小题满分13分)已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.
(1)若直线和圆总有两个不同的公共点,求k的取值集合
(2)求当k取何值时,直线被圆截得的弦最短,并求这最短弦的长.
参考答案:
(1)已知圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=4,其圆心(3,4)到直线kx-y-4k+3=0的距离为.
直线和圆总有两个不同的公共点,所以<2,即(k+1)2<4(1+k2),
即3k2-2k+3>0.而3k2-2k+3=3(k-)2+>0恒成立.所以k的取值集合为R
(方法二:直线过定点(4,3),可以判断点(4,3)在圆的内部,从而确定直线和圆总有两个不同的公共点,所以k的取值集合为R)
(2)由于当圆心到直线的距离最大时,直线被圆截得的弦最短,
而d=,当且仅当k=1时,“=”成立,即k=1时,dmax=.
故当k=1时,直线被圆截得的弦最短,该最短弦的长为
(注:由(1)可以确定圆心到直线的距离最大为圆心与点(4,3)的距离,从而确定最短弦;在上面的解法中对k的分类讨论用对勾函数求解也可.)
21. (本大题满分10分)
已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆;
命题q:双曲线的离心率,若p、q有且只有一个为真,求m的取值范围.
参考答案:
解:将方程改写为,
只有当即时,方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,所以命题p等价于;………………………………………………………………………4分
因为双曲线的离心率,
所以,且1,解得,…………………………………6分
所以命题q等价于; ……………………………………………………8分
若p真q假,则;
若p假q真,则
综上:的取值范围为………………………………………………………
略
22. (本题满分12分)在中,内角所对边分别为.
求证:
参考答案: