山西省吕梁市玉坪中学2022年高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 为了解疾病A是否与性别有关,在一医院随机地对入院50人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
患疾病A
不患疾病A
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
请计算出统计量K2,你有多大的把握认为疾病A与性别有关?
下面的临界值表供参考:
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
A、95% B、99% C、99.5% D、99.9%
参考答案:
C
略
2. 4名男生和2 名女生站成一排,则这2名女生不相邻的排法种数( )
A.600 B. 480 C. 360 D. 120
参考答案:
B
略
3. 我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦。若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:
在四面体O-ABC中,,S为顶点O所对面的面积,分别为侧面的面积,则下列选项中对于满足的关系描述正确的为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
作四面体,,于点,连接,结合勾股定理可得答案。
【详解】作四面体,,于点,连接,如图
.
即
故选C.
【点睛】本题主要考查类比推理,解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中,属于简单题。
4. 两个变量与的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数如下,其中拟合效果最好的模型是( )
A.模型1的相关指数为0.98 B.模型2的相关指数为0.86
C.模型3的相关指数为0.68 D.模型4的相关指数为0.58
参考答案:
A
略
5. 设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
A.4π B. C.6π D.
参考答案:
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为,代入球的体积公式,可得答案.
【解答】解:∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,
∴AC=10.
故三角形ABC的内切圆半径r==2,
又由AA1=3,
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为,
此时V的最大值=,
故选:B
7. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为( )
A.4 B.-2 C.4或-4 D.12或-2
参考答案:
C
8. 椭圆+=1的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】先根据椭圆的标准方程得出:长轴长,短轴长,进而根据椭圆a,b,c的关系a2=b2+c2可表示出c,再由e=得到答案
【解答】解:∵椭圆+=1,
∴a=5,b=4
∴c=3
∴e==
故选:D.
9. 直线y=x+a与曲线y=a |x|有两个交点,则a的取值范围是 ( )
A. a B. a>0 且
C. a>1或 a< 0 D. a>1或 a< -1
参考答案:
D
10. 与圆C1:x2+(y+1)2=1及圆C2:x2+(y﹣4)2=4都外切的动圆的圆心在( )
A.一个圆上 B.一个椭圆上
C.双曲线的一支上 D.一条抛物线上
参考答案:
C
【考点】双曲线的标准方程.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】直接利用已知圆的外切性质列出关系式,结合圆锥曲线的定义,求出圆心的轨迹,即可得出答案.
【解答】解:由已知得C1的圆心坐标(0.﹣1),r1=1,
C2的圆心坐标(0,4),r2=2,
设动圆圆心M,半径r,则|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,
∴|MC2|﹣|MC1|=1,
由双曲线的定义可得:动圆的圆心在双曲线的一支上.
故选C.
【点评】本题是中档题,考查曲线轨迹方程的求法,圆的几何性质的应用,考查计算能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下图程序运行后输出的结果为 .
n?5
s?0
While s<10
s?s+n
n?n-1
End While
Print n
End
参考答案:
2
12. 程序框图如右图所示,若,输入,则输出结果为______________
参考答案:
13. 定积分=________.
参考答案:
y=x
略
14. 已知函数f(x)=x3﹣ax2+1在区间[0,2]内单调递减,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[3,+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由函数f(x)=x3﹣ax2+1在[0,2]内单调递减转化成f'(x)≤0在[0,2]内恒成立,利用参数分离法即可求出a的范围.
【解答】解:∵函数f(x)=x3﹣ax2+1在[0,2]内单调递减,
∴f'(x)=3x2﹣2ax≤0在[0,2]内恒成立.
即 a≥x在[0,2]内恒成立.
∵t=x在[0,2]上的最大值为×2=3,
∴故答案为:a≥3.
15. 若直线的参数方程为,则直线的斜率为
参考答案:
略
16. 设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为__________,
参考答案:
略
17. 正三棱柱的底面边长为2,高为2,则它的外接球表面积为
参考答案:
试题分析: 由正三棱柱的底面边长为2,易得底面所在平面截其外接圆O的半径,又由正三棱柱的高为2,则球心到圆O的球心距,根据球心距,截面圆半径,球半径构成直角三角形, 满足勾股定理,我们易得球半径R满足:
故外接球的表面积
考点:棱柱的几何特征及球的体积和表面积
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x﹣lnx,g(x)=x3+x2(x﹣lnx)﹣16x.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:g(x)>﹣20.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)先求出函数的定义域,求出函数f(x)的导函数,在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间,令导函数小于0得到函数的递减区间;
(2)求出g(x)≥x3+x2﹣16x,(x>0),设h(x)=x3+x2﹣16x,(x>0),根据函数的单调性求出h(x)的最小值,从而证出结论即可.
【解答】解:(1)∵f′(x)=1﹣=,(x>0),
由f′(x)=0得x=1.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
∴x=1是函数f(x)的极小值点,
故f(x)的极小值是1.
(2)证明:由(1)得:f(x)≥1,
∴g(x)≥x3+x2﹣16x,(x>0),当且仅当x=1时“=”成立,
设h(x)=x3+x2﹣16x,(x>0),
则h′(x)=(3x+8)(x﹣2),
令h′(x)>0,解得:x>2,令h′(x)<0,解得:0<x<2,
∴h(x)min=h(2)=﹣20,
∴h(x)≥﹣20,当且仅当x=2时“=”成立,
因取条件不同,
故g(x)>﹣20.
19. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,数列{bn}满足3n﹣1bn=a2n﹣1
(I)求an,bn;
(Ⅱ)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(Ⅰ)当n≥2时利用an=Sn﹣Sn﹣1计算即得结论,再代入得到bn=,
(Ⅱ)通过错位相减法即可求出前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)∵Sn=n2+2n,
∴当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+2n)﹣(n﹣1)2﹣2(n﹣1)=2n+1(n≥2),
又∵S1=1+2=3即a1=1满足上式,
∴数列{an}的通项公式an=2n+1;
∴3n﹣1bn=a2n﹣1=2(2n﹣1)+1=4n﹣1,
∴bn=,
(Ⅱ)Tn=+++…++,
∴Tn=+++…++,
∴Tn=3+4(++…+)﹣=3+4?﹣=5﹣
∴Tn=﹣
20. (本小题满分12分)求满足下列条件的直线的方程:
(1)经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平行;
(2)经过点B(2,-3),且平行于过点M(1,2)和N(-1,-5)的直线;
(3)经过点C(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直.
参考答案:
解:(1)由直线4x+y-2=0得直线的斜率为-4, (2分)
所以经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平行的直线方程为
y-2=-4(x-3),即4x+y-14=0. (4分)
(2)由已知,经过两点M(1,2)和N(-1,-5)的直线的斜率
, (6分)
所以,经过点B(2,-3),且平行于MN的直线方程为
,即7x-2y-20=0. (8分)
(3)由直线2x+y-5=0得直线的斜率为-2, (9分)
所以与直线2x+y-5=0垂直的直线的斜率为. (10分)
所以,经过点C(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为
,即x-2y-3=0. (12分)
略
21. (本小题满分13分)
已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)对任意N,是否存在正实数,使不等式恒成立,若存在,求出 的最小值,若不存在,说明理由.
参考答案:
解:设数列的公差为,数列的公比为,
则……………4分
所以……………6分
(2)存在正实数,使不等式恒成立,即对任意N恒成立.
设,则…………8分
当时,,为单调递减数列;
当时,,为单调递增数列。
又,所以当时,取得最大值…………10分
所以要使对任意N恒成立,则
,即……………13分
22. 已知函数
(1)当a为何值时,x轴为曲线的切线;
(2)若存在(e是自然对数的底数),使不等式成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)设曲线与轴相切于点,利用导数的几何意义,列出方程组,即可求解;
(2)把不等式成立,转化为,构造函数,利