2022年安徽省芜湖市黄冈博洋中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数成等比数列,且函数时取到极大值,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
因为,由,又,所以,所以。
2. 已知点P在抛物线y2=4x上,点M在圆(x﹣3)2+(y﹣1)2=1上,点N坐标为(1,0),则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5 B.4 C.3 D.+1
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由已知可得N为抛物线y2=4x的焦点,则|PM|+|PN|的最小值等于M点到准x=﹣1的距离,进而根据M点在圆(x﹣3)2+(y﹣1)2=1上,可得答案
【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点为N(1,0),
∴当|PM|+|PN|的最小值等于M点到准x=﹣1的距离,
∵M点在圆(x﹣3)2+(y﹣1)2=1上,
∴M点到准x=﹣1的距离d等于圆心(3,1)到准线的距离4减半径1,即d=4﹣1=3,
故选:C
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,点到直线的距离,其中将|PM|+|PN|的最小值转化为:M点到准x=﹣1的距离,是解答的关键.
3. 按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63,则判断框中的整数M的值是____.
参考答案:
5
4. 若,则下列各式中成立的是( )
参考答案:
D
5. 设向量=(x﹣1,x),=(x+2,x﹣4),则“⊥”是“x=2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】⊥,可得?=0,解出即可得出.
【解答】解:∵⊥,∴(x﹣1)(x+2)+x(x﹣4)=0,化为:2x2﹣3x﹣2=0,
解得x=﹣或2.
∴“⊥”是“x=2”的必要不充分条件.
故选:B.
6. 已知O是坐标原点,点A(﹣1,1),若点M(x,y)为平面区域上一个动点,则?的最大值为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
B
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,设z=?,求出z的表达式,利用z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
设z=?,
∵A(﹣1,1),M(x,y),
∴z=?=﹣x+y,
即y=x+z,
平移直线y=x+z,由图象可知当y=x+z,
经过点B(0,2)时,直线截距最大,此时z最大为z=﹣0+2=2.
故选:B.
7. 已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x,下面结论中错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于x=对称
C.函数f(x)的图象可由g(x)=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到
D.函数f(x)在区间[0,]上是增函数
参考答案:
C
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【专题】函数思想;数形结合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由三角函数公式化简可得f(x)=2sin(2x﹣)﹣1,由三角函数的图象和性质,逐个选项验证可得.
【解答】解:f(x)=sin2x﹣2cos2x
=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin(2x﹣)﹣1,
由周期公式可得T==π,选项A正确;
由2x﹣=kπ+可得x=+,k∈Z,
故当k=0时,可得函数一条对称轴为x=,选项B正确;
g(x)=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2(x﹣)﹣1=2sin(2x﹣)﹣1的图象,
而不是f(x)=2sin(2x﹣)﹣1的图象,选项C错误;
由kπ﹣≤2x﹣≤kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数的单调递增区间为[kπ﹣, kπ+],
显然f(x)在区间[0,]上是增函数,选项D正确.
故选:C.
【点评】本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的图象和性质,属中档题.
8. 如图,圆O的内接“五角星”与圆O交与点,记弧在圆O中所对的圆心角为,弧所对的圆心角为,则= ( )
A. B.
C.0 D.1
参考答案:
D
9. 在复平面内,复数对应的点位于第二象限,则复数z可取( )
A. 2 B. -1 C. i D.
参考答案:
B
【分析】
由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系,然后考查所给的选项即可确定z的值.
【详解】不妨设,则,
结合题意可知:,逐一考查所给的选项:
对于选项A:,不合题意;
对于选项B:,符合题意;
对于选项C:,不合题意;
对于选项D:,不合题意;
故选:B.
10. 在数列中,, ,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于 .
参考答案:
35
【考点】等差数列的性质.
【分析】由条件利用等差数列的性质求得a6=6,再根据a3+a4+…+a9 =7a6,运算求得结果.
【解答】解:∵等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,由等差数列的性质可得 3a6=15,解得a6=5.
那么a3+a4+…+a9 =7a6=35.
故答案为 35.
12. 定义:如果函数在定义域内给定区间上存在,满足,则称函数是上的“平均值函数”,是它的一个均值点.例如是上的平均值函数,0就是它的均值点,若函数是上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
【知识点】函数中的新概念问题. B1
【答案解析】(0,2) 解析:因为函数是上的“平均值函数”,所以存在使得,,
又所以实数的取值范围是.
【思路点拨】根据平均值函数”的定义写出m关于的函数,求此函数在(-1,1)上的值域即可.
13. 同学们经过市场调查,得出了某种商品在2014年的价格y(单位:元)与时间t(单位:月的函数关系为:y=2+(1≤t≤12),则10月份该商品价格上涨的速度是 元/月.
参考答案:
3
【考点】根据实际问题选择函数类型.
【分析】根据导数的几何意义,求出函数的导数即可得到结论.
【解答】解:∵y=2+(1≤t≤12),
∴函数的导数y′=(2+)′=()′=,
由导数的几何意义可知10月份该商品价格上涨的速度为=3,
故答案为:3.
14. 已知,且方程在上有两个不同的实数根,则 的最小值为__________________.
参考答案:
13
略
15. 设集合 ,则集合中元素的最小值是 .
参考答案:
16. 直线与抛物线所围图形的面积等于_____________
参考答案:
17. 等差数列中,,记,则____.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知为偶函数,曲线过点,.
(1)若曲线存在斜率为0的切线,求实数的取值范围;
(2)若当时函数取得极值,确定的单调区间.
参考答案:
(12分) 解: (Ⅰ)为偶函数,故即有
解得
又曲线过点,得有
因为从而,
又因为曲线有斜率为0的切线,
故有有实数解.即有实数解.
此时有解得
所以实数的取值范围:
(Ⅱ)因时函数取得极值,
故有即,解得
又
令,得
当时, ,故在上为增函数
当时, ,故在上为减函数
当时, ,故在上为增函数
略
19. 命题p:?x>0,x+>a;命题q:x2﹣2ax+1≤0解集非空.¬q假,p∧q假,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【专题】简易逻辑.
【分析】利用分类讨论思想,利用恒成立问题首先求出a的取值范围,进一步利用不等式有解的条件求出a的范围,进一步利用命题的:且、或、非”最后求出结果.
【解答】解:不妨设p为真,要使得不等式恒成立
只需,
又∵当x>0时,,
∴a<2,
不妨设q为真,要使得不等式有解,
只需△≥0,即(﹣2a)2﹣4≥0,
解得a≤﹣1或a≥1;
∵?q假,且“p∧q”为真命题,
故q真p假,
所以,
∴实数a的取值范围为a≥2.
【点评】本题考查的知识要点:符合命题的应用,且是命题和或是命题的应用,分类讨论思想的应用.属于基础题型.
20. (本小题满分10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】
已知圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(I)将圆的参数方程化为普通方程,将圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(II)圆、是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
参考答案:
解:(I)由得x2+y2=1,······································································
又∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ.
∴x2+y2-x+y=0,即······························································
(II)圆心距,得两圆相交··············································
由得,A(1,0),B,···························································
∴
21. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
30
25
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;[&%中国教育出~版网*#]
(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
(注:将频率视为概率)[中%#国教*育^出版网~]
参考答案:
(1)由已知,得所以
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得
的分布为
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的数学期望为
.
(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则
.
由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以
.
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
22. (本小题满分12分)
动圆P过点M( -1,O),且与圆N:x2+y2 -2x -15 =0内切,记圆心P的轨迹为曲线τ。
( I)