广东省湛江市第二十二中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有以下命题:
①已知 是函数的最大值,则一定是的极大值
②椭圆的离心率为,则越接近于1,椭圆越扁;越接近于0,椭圆越圆.
③若函数的导函数 ,则
其中,正确的命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
C
略
2. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
略
3. 设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
4. 若x∈(﹣∞,﹣1]时,不等式(m2﹣m)?4x﹣2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣4,3) C.(﹣1,2) D.(﹣3,4)
参考答案:
C
【考点】7J:指、对数不等式的解法.
【分析】由题意可得(m2﹣m)<在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立,则只要(m2﹣m)<的最小值,然后解不等式可m的范围
【解答】解:∵(m2﹣m)4x﹣2x<0在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立
∴(m2﹣m)<在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立
由于f(x)=在x∈(﹣∞,﹣1]时单调递减
∵x≤﹣1,
∴f(x)≥2
∴m2﹣m<2
∴﹣1<m<2
故选C
5. 的展开式中含的正整数指数幂的项数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 有2n个数字,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两个数,则所取的两数之和为偶数的概率是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
7. 执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:输入的a值为1,则b=1,
第一次执行循环体后,a=﹣,不满足退出循环的条件,k=1;
第二次执行循环体后,a=﹣2,不满足退出循环的条件,k=2;
第三次执行循环体后,a=1,满足退出循环的条件,
故输出的k值为2,
故选:B
8. 倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点(点在轴上方),则的值为( )
A.1 B. 2 C.3 D.4
参考答案:
C
9. 在△ABC中,A=120°,b=1,面积为3,则= ( )
A. 23 B. 29 C. 27 D. 47
参考答案:
C
10. 已知命题p:?x>0,x2+x>0,则它的否定是( )
A.?x>0,x2+x>0 B.?x>0,x2+x≤0 C.?x>0,x2+x≤0 D.?x>0,x2+x<0
参考答案:
B
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p:?x>0,x2+x>0,则它的否定是:?x>0,x2+x≤0.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水,现放入一个小球后,水面恰好淹过小球(水面与小球相切),且圆锥的轴截面是等边三角形,则容器中水的体积与小球的体积之比为 .
参考答案:
5:4
【考点】球的体积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】由题意求出球的体积,求出圆锥的体积,设出水的高度,求出水的圆锥的体积,利用V水+V球=V容器,求出圆锥内水平面高.即可得出结论.
【解答】解:如图.在容器内注入水,并放入一个半径为r的铁球,这时水面记为AB,
将球从圆锥内取出后,这时水面记为EF.
三角形PAB为轴截面,是正三角形,
三角形PEF也是正三角形,圆O是正三角形PAB的内切圆.
由题意可知,DO=CO=r,AO=2r=OP,AC=r
∴V球=,VPC==3πr3
又设HP=h,则EH=h
∴V水==
∵V水+V球=VPC
即 +=3πr3,
∴h3=15r3,
容器中水的体积与小球的体积之比为: =5:4.
故答案为5:4.
12. 若函数则
参考答案:
2
13. 过点作一直线与椭圆相交于两点,若点恰好为弦的中点,则所在直线的方程为 ;
参考答案:
14. 设复数z=i(1+i)(i为虚数单位),则复数z的实部为 .
参考答案:
﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【解答】解:∵z=i(1+i)=﹣1+i,
∴复数z的实部为﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算,考查复数的基本概念,是基础题.
15. 名男生,名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法.
参考答案:
解析:先排女生有,再排男生有,共有
16. 已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于 .
参考答案:
17. 已知函数的最小值为3,则a的值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题10分)如图,ABCD是正方形,O是该正方形的中心,P是平面ABCD
外一点,PO底面ABCD,E是PC的中点.
求证:(1)PA∥平面BDE ;
(2)BD⊥平面PAC.
参考答案:
证明:(1)连接EO,∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ O为AC的中点.
∵ E是PC的中点,∴ OE是△APC的中位线.
∴ EO∥PA.∵ EO平面BDE,PA平面BDE,
∴ PA∥平面BDE.
(2)∵ PO⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴ PO⊥BD.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC⊥BD.
∵ PO∩AC=O,AC 平面PAC,PO 平面PAC,
∴ BD⊥平面PAC.
19. (本小题满分10分)如图,四棱锥P-ABCD中,,,,,是的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
参考答案:
(1)证明:底面,,又,,故面面,故 4分
又, 是的中点,故,从而面,故
易知,故面 6分
20. 已知椭圆,分别是椭圆的左、右焦点,过点作直线于椭圆交于两点,的周长为.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若.求直线的方程.
参考答案:
(Ⅰ)解:因为,,且,得,则椭圆方程:
(Ⅱ)解:设,
当垂直于轴时,直线的方程,不符合题意;
当不垂直于轴时,设直线的方程为
,得,
,=
因为,所以,则,,
得,
直线的方程为.
21. 设F1、F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距;
(2)如果=2,求椭圆C的方程.
参考答案:
设焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0)
∵kl=tan60°=
∴l的方程为y=(x-c)
即:x-y-c=0
∵F1到直线l的距离为2
∴=c=2
∴c=2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由题可知y1<0,y2>0
直线l的方程为y=(x-2)
由消去x得,
(3a2+b2)y2+4b2y-3b2(a2-4)=0
由韦达定理可得
∵=2,∴-y1=2y2,代入①②得
得=·
= ⑤
又a2=b2+4 ⑥
由⑤⑥解得a2=9 b2=5
∴椭圆C的方程为+=1.
22. 已知圆,设点是直线上的两点,它们的横坐标分别是,点在线段上,过点作圆的切线,切点为.
(1)若,求直线的方程;
(2)经过三点的圆的圆心是,求线段(为坐标原点)长的最小值.
参考答案:
(1)设
解得或(舍去).
由题意知切线PA的斜率存在,设斜率为k.
所以直线PA的方程为,即
直线PA与圆M相切,,解得或
直线PA的方程是或6分
(2)设
与圆M相切于点A,
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
的坐标是
设
当,即时,
当,即时,
当,即时
则.
【解析】略