辽宁省辽阳市三新中学2022年高一数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数图象关于对称,则实数的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知直线,平面,且,给出下列四个命题:
①若α//β,则; ②若
③若,则; ④若
其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
3. 直线 倾斜角的大小是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
把直线方程化成斜截式,根据斜率等于倾斜角的正切求解.
【详解】直线化成斜截式为,
因为 ,所以.
故选B.
【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质,属于基础题.
4. 已知数列{an}的前n项和Sn满足.若对任意正整数n都有恒成立,则实数的取值范围为( )
A.(-∞,1) B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
先利用求出数列通项公式,于是可求出,再利用参变量分离法得到,利用数列的单调性求出数列的最小项的值,可得出实数的取值范围。
【详解】当时,,即,得;
当时,由,得,两式相减得,得,
,所以,数列为等比数列,且首项为,公比为,.
,
由,得,
所以,数列单调递增,其最小项为,所以,,
因此,实数的取值范围是,故选:C。
【点睛】本题考查利用数列前项和求数列的通项,其关系式为,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题。
5. 设f(x)=2x+3x﹣8,则方程f(x)=0的根落在区间( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】二分法求方程的近似解.
【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】计算f(1),f(2),根据零点存在定理即可判断.
【解答】解:∵f(1)=2+3﹣8<0,f(2)=4+6﹣8>0,
∴f(x)在区间(1,2)存在一个零点,
∴方程f(x)=0的根落在区间(1,2).
故选:B.
【点评】本题考查了零点存在定理,一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点
6. 设数列{an}满足:an+1=an+,a20=1,则a1=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】8H:数列递推式.
【分析】把给出的数列递推式裂项,得到,整理后代入a20=1求得a1的值.
【解答】解:由an+1=an+,得:
,
∴a20=(a20﹣a19)+(a19﹣a18)+…+(a2﹣a1)+a1,
即,
∵a20=1,
∴1=1﹣+a1,
则.
故选:A.
【点评】本题考查数列递推式,考查了裂项法求数列的通项公式,是中档题.
7. 已知,则]的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
参考答案:
C
8. 三棱锥的高为3,侧棱长均相等且为,底面是等边三角形,则这个三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n ∈N+),那么a4的值为( ).
A. 4 B. 8 C. 15 D. 31
参考答案:
C
试题分析:,,,故选C.
考点:数列的递推公式
10. 若函数(且)经过点,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A共有 个.
参考答案:
4
【考点】并集及其运算.
【分析】由已知得满足条件的集合A有:{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}.
【解答】解:∵{1,3}∪A={1,3,5},
∴满足条件的集合A有:{5},{1,5},{3,5},{1,3,5},共4个.
故答案为:4.
12. 若直线x﹣y=1与直线(m+3)x+my﹣8=0平行,则m= .
参考答案:
【考点】两条直线平行的判定.
【分析】两直线平得,则其斜率相等,故应先解出两直线的斜率的表达式,令其斜率相等得到参数的方程求参数.
【解答】解:直线x﹣y=1的斜率为1,(m+3)x+my﹣8=0斜率为
两直线平行,则=1解得m=﹣.
故应填﹣.
13. 设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4}, 若A∩B={3}, 则实数a的值为
参考答案:
1
14. 设集合A={x|﹣1≤x≤4},集合B={x|1≤x≤5}则A∩B= .
参考答案:
{x|1≤x≤4}
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.
【分析】观察两个集合,形式已得到化简,依据交集定义求出两个集合的公共部分.
【解答】解:∵集合A={x|﹣1≤x≤4},集合B={x|1≤x≤5},
∴A∩B={x|1≤x≤4}
故答案为:{x|1≤x≤4}.
【点评】本题考查交集及其运算,解题的关键是掌握理解好交集的定义,并能根据定义求出两个集合的交集.
15. (5分)若直线x﹣y=1与直线(m+3)x+my﹣8=0平行,则m= .
参考答案:
考点: 两条直线平行的判定.
专题: 计算题.
分析: 两直线平得,则其斜率相等,故应先解出两直线的斜率的表达式,令其斜率相等得到参数的方程求参数.
解答: 直线x﹣y=1的斜率为1,(m+3)x+my﹣8=0斜率为
两直线平行,则=1解得m=﹣.
故应填﹣.
点评: 本题考查直线平行的条件,利用直线平行两直线的斜率相等建立方程求参数,这是高考试题中考查直线平行条件的主要方式.
16. 在轴上与点和点等距离的点的坐标为 .
参考答案:
略
17. 给出下列四种说法,说法正确的有__________(请填写序号)
①函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=logaax(a>0,且a≠1)的定义域相同;
②函数f(x)=和y=都是既奇又偶的函数;
③已知对任意的非零实数x都有=2x+1,则f(2)=﹣;
④函数f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,则函数f(x)在(a,c)上一定是增函数.
参考答案:
①③
考点:命题的真假判断与应用.
专题:函数思想;定义法;简易逻辑.
分析:①函数y=ax的定义域为R,函数y=logaax(a>0,且a≠1)的定义域为ax>0,x∈R;
②函数f(x)=的定义域为{﹣1,1},y=的定义域为{1}不关于原点对称,
③由,得f()+2f(x)=+1,联立可得f(x)=,代入求值即可;
④函数f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,只能说明函数的增区间为(a,b]和(b,c).
解答:解:①函数y=ax的定义域为R,函数y=logaax(a>0,且a≠1)的定义域为ax>0,x∈R,故正确;
②函数f(x)=的定义域为{﹣1,1},且f(x)=0,是既奇又偶的函数,y=的定义域为{1}不关于原点对称,故是非奇非偶函数,故错误;
③由,得f()+2f(x)=+1,联立可得f(x)=,得则f(2)=﹣,故正确;
④函数f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,只能说明函数的增区间为(a,b]和(b,c),但函数f(x)在(a,c)上不一定是增函数,故错误.
故答案为①③.
点评:考查了函数定义域的求法,函数奇偶性的判定,抽象函数的求解和单调区间的确定.属于基础题型,应熟练掌握
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知为第二象限角,.
(1)化简
(2)若,求的值
参考答案:
(1) (2)
19. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°,a+c=b,求 C.
参考答案:
由及正弦定理可得
…………3分
又由于故
…………7分
因为,
所以
20. 对于定义在区间D上的函数y=f(x),若存在x0∈D,对任意的x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称函数f(x)在区间D上有“下界”,把f(x0)称为函数f(x)在D上的“下界”.
(1)分别判断下列函数是否有“下界”?如果有,写出“下界”,否则请说明理由;f1(x)=1﹣2x(x>0),f2(x)=x+(0<x≤5).
(2)请你类比函数有“下界”的定义,写出函数f(x)在区间D上有“上界”的定义;并判断函数f2(x)=|x﹣|(0<x≤5)是否有“上界”?说明理由;
(3)若函数f(x)在区间D上既有“上界”又有“下界”,则称函数f(x)是区间D上的“有界函数”,把“上界”减去“下界”的差称为函数f(x)在D上的“幅度M”.
对于实数a,试探究函数F(x)=x|x﹣2a|+3(a≤)是否是[1,2]上的“有界函数”?如果是,求出“幅度M”的值.
参考答案:
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)根据f(x0)称为函数f(x)在D上的“下界”的定义,判断即可;
(2)类比函数有“下界”的定义,写出函数f(x)在区间D上有“上界”的定义;通过讨论x的范围,判断函数f2(x)是否有“上界”即可;
(3)求出F(x)的分段函数式,讨论①当a≤0时,②当0<a≤时,函数的解析式和对称轴,与区间的关系,由单调性即可得到最值和幅度M的值.
【解答】解:(1)∵f1(x)=1﹣2x(x>0),∴f1(x)<1,无“下界”,
∵f2(x)=x+≥2=8,当且仅当x=4时“=”成立(0<x≤5).
∴f2(x)=x+(0<x≤5)有“下界”;
(2)对于定义在区间D上的函数y=f(x),若存在x0∈D,对任意的x∈D,都有f(x)≤f(x0),
则称函数f(x)在区间D上有“上界”,把f(x0)称为函数f(x)在D上的“上界”.
f2(x)=|x﹣|(0<x≤5),
0<x<4时,x﹣<0,
f2(x)=﹣x,f2′(x)=﹣﹣1<0,
f2(x)在(0,4)递减,
x→0时,f2(x)→+∞,无“上界”,
4≤x≤5时,x﹣>0,
f2(x)=x﹣,f2′(x)=1+>0,
f2(x)=x﹣在[4,5]递增,f2(x)≤f2(5)=,
综上,函数f2(x)=|x﹣|(0<x≤5)无“上界”;
(3)F(x)=x|x﹣2a|+3=,
①当a≤0时,F(x)=x2﹣2ax+3对称轴为x=a,在[1,2]递增,
F(x)max=F(2)=7﹣4a,F(x)min=F(1)=4﹣2a,
幅度M=F(2)﹣F(1)=3﹣2a;
②当0<a≤时,F(x)=x2﹣2ax+3,
区间[1,2]在对称轴的右