浙江省温州市乐清文星中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间
A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)
参考答案:
B
根据函数零点存在定理,若f(x)=log3x﹣8+2x若在区间(a,b)上存在零点,则f(a)?f(b)<0,我们根据函数零点存在定理,对四个答案中的区间进行判断,即可得到答案.
解:当x=3时,f(3)=log33﹣8+2×3=﹣1<0
当x=4时,f(4)=log34﹣8+2×4=log34>0
即f(3)?f(4)<0
又∵函数f(x)=log3x﹣8+2x为连续函数
故函数f(x)=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间(3,4)
故选B
2. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1﹣a,则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质.
【专题】计算题.
【分析】函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3)为二次函数,开口向上,对称轴为x=﹣1,
比较f(x1)与f(x2)的大小即看x1和x2谁到对称轴的距离大.
【解答】解:已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),二次函数的图象开口向上,对称轴为x=﹣1,0<a<3,
∴x1+x2=1﹣a∈(﹣2,1),x1与x2的中点在(﹣1,)之间,x1<x2,
∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离,
∴f(x1)<f(x2),
故选A.
【点评】本题考查函数单调性的应用,利用单调性比较大小,有较强的综合性.熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键.
3. ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 若函数的定义域为R,
则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 设向量,满足,,若,则( )
A.3 B.4 C. D.1+
参考答案:
B
6. 已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )
A.2πR2 B.πR2
C.πR2 D.πR2
参考答案:
B
略
7.
A. 2013 B. 4026 C. 0 D.
参考答案:
A
8. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=( )
参考答案:
A
9. 在边长为6的正中,点满足,则等于( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
参考答案:
D
10. 不等式的解集是( )
A.{x|﹣3≤x≤3} B.{x|﹣3≤x≤2或x≥3}
C.{x|﹣3≤x<2或x≥3} D.{x|x≤﹣3或2<x≤3}
参考答案:
C
【考点】7E:其他不等式的解法.
【分析】不等式,即为或,由二次不等式和一次不等式的解法,计算即可得到所求解集.
【解答】解:不等式,
即为或,
即有或,
即为x≥3或﹣3≤x<2,
可得解集为{x|x≥3或﹣3≤x<2},
故选:C.
【点评】本题考查分式不等式的解法,注意运用等价变形,转化为二次不等式和一次不等式的解法,考查运算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数为减函数的区间是______________.
参考答案:
略
12. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是:__________
参考答案:
51
略
13. 已知数列{an}中,且当时,则数列{an}的前n项和Sn =__________.
参考答案:
【分析】
先利用累乘法计算,再通过裂项求和计算.
【详解】,
数列的前项和
故答案为:
【点睛】本题考查了累乘法,裂项求和,属于数列的常考题型.
14. 若α是第一象限的角,则π-α是第______象限的角
参考答案:
二
略
15. 已知f(x)=x2+ax+b,满足f(1)=0,f(2)=0,则f(-1)=_ ___.
参考答案:
6
16. 与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
参考答案:
(x﹣2)2+(y﹣2)2=2
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】由题意可知先求圆心坐标,再求圆心到直线的距离,求出最小的圆的半径,圆心坐标,可得圆的方程.
【解答】解:曲线化为(x﹣6)2+(y﹣6)2=18,
其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为.
所求的最小圆的圆心在直线y=x上,
其到直线的距离为,圆心坐标为(2,2).
标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=2.
故答案为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=2.
17. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=________.
参考答案:
8
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y=x2﹣50x+900,且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品,同时获得国家补贴10万元.
(1)当x∈[10,15]时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【专题】综合题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)根据处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y=x2﹣50x+900,且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品,同时获得国家补贴10万元,可得函数关系式,配方,求出P的范围,即可得出结论;
(2)求出平均处理成本,利用基本不等式,即可求出结论.
【解答】解:(1)根据题意得,利润P和处理量x之间的关系:
P=(10+10)x﹣y
=20x﹣x2+50x﹣900
=﹣x2+70x﹣900
=﹣(x﹣35)2+325,x∈[10,15].
∵x=35?[10,15],P=﹣(x﹣35)2+325在[10,15]上为增函数,
可求得P∈[﹣300,﹣75].
∴国家只需要补贴75万元,该工厂就不会亏损.
(2)设平均处理成本为,
当且仅当时等号成立,由x>0得x=30.
因此,当处理量为30吨时,每吨的处理成本最少为10万元.
【点评】本题考查函数模型的构建,考查函数最值的求解,正确运用求函数最值的方法是关键.
19. (本小题满分12分)已知为等差数列的前项和,,求;
参考答案:
略
20. 将进货单价40元的商品按50元一个出售时能卖出500个,若每涨价1元,其销售量就减少10个,为赚得最大利润,则销售价应为多少?
参考答案:
解:设销售价为50+x,利润为y元,
则y=(500-10x)(50+x-40)=-10(x-20)2+9000,
∴当x=20
时,y取得最大值,即为赚得最大利润,则销售价应为70元.
略
21. 已知
求证:1. 2.
参考答案:
22. 如图直角梯形位于平面直角坐标系中,其中,动点P从出发沿折线段CBA运动到A(包括端点),设点P的横坐标为,函数.
(1)求函数的解析式;
(2)出函数的草图,并求的单调递增区间;
(3)若函数有零点,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)由已知
(2)作草图,要求定义域、对称轴、顶点表达清楚 -------------7分(每个顶点1分)
的单增区间为 ----------8分
(3)由函数图象, ----------9分
所以的取值范围为 ---------10分
略