湖南省长沙市三十七中学高一数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.（    ） A． B． C． D． 参考答案： D 2. 某班有60名学生，学号为1～60号，现从中抽取5位同学参加一项活动，用系统抽样的方法确定的抽样号码可能为（　　） A．5，10，15，20，25 B．5，12，31，39，57 C．6，16，26，36，46 D．6，18，30，42，54 参考答案： D 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可． 【解答】解：样本间隔为60÷5=12， 则满足条件的编号为6，18，30，42，54， 故选：D． 　 3. 函数的值域为（　　） A． B． C．（0，] D．（0，2] 参考答案： A 【考点】指数型复合函数的性质及应用；二次函数的性质． 【分析】令t（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1≤1，结合指数函数y=的单调性可求函数的值域 【解答】解：令t（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1≤1 ∵单调递减 ∴即y≥ 故选A 【点评】本题主要考查了指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性，属于基础试题 4. 在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（   ） A．8         B．±8          C．16            D．±16 参考答案： A 略 5. 设集合A=, B=, 函数f(x)=若x, 且f [ f (x)],则x的取值范围是(    ) A.        B.         C.      D. 参考答案： C 6. 若，，与的夹角为，则（   ） A.2           B．1         C．2  D．4 参考答案： B 7. 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，过点P作PP1垂直轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的长为________．   参考答案： 略 8. 函数的定义域为R，求实数k的取值范围是（     ） A.       B.       C.         D. 参考答案： D 略 9. 用二分法计算在内的根的过程中：令f(x)= 得，，，，则方程的根落在区间（    ） A、      B、     C、      D、 参考答案： D 10. 已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（    ） A. 3 B. 0 C. -3 D. 参考答案： C 【分析】 由函数的图象关于直线对称，可得，再结合为奇函数，求得的值. 【详解】解：由函数的图象关于直线对称，可得， 再结合为奇函数，可得， 求得， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的值域是             . 参考答案： (0，1] 令，则． ∴． 故函数的值域是． 答案：   12. 把正偶数数列的数按上小下大，左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表，设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数，若=2014,则=         . 参考答案： 62 13. 已知实数x，y满足则目标函数的最大值是____，满足条件的实数x，y构成的平面区域的面积等于____． 参考答案：     (1). 2    (2). 2； 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用线性目标函数的最值求法，进行求解即可． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由得．平移直线， 由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大． 由，解得，代入目标函数得． 即目标函数的最大值为2． 点时，同理， 满足条件的实数，构成的平面区域的面积等于： 【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解方法——平移法的应用，以及三角形面积的求法。 14. （4分）方程的解是          ． 参考答案： x=﹣1 考点： 有理数指数幂的运算性质． 专题： 计算题． 分析： 把，化为3﹣2，然后按照指数幂的运算法则，转化为一次方程，求解即可． 解答： 故答案为：x=﹣1． 点评： 本题考查有理数指数幂的运算性质，是基础题． 15. 幂函数的图象经过点，则满足＝27的的值是      ． 参考答案： 16. 已知那么=          ，=          。 参考答案： 略 17. （5分）若，的夹角为30°，则的值为      ． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题． 分析： 条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的模不是数字，而是用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用． 解答： 因为：=2sin15°?4cos15°?cos30° =4sin30°?cos30°=2sin60°=． 故答案为：． 点评： 本题考查向量的数量积公式、三角函数的二倍角公式．考查计算能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点． （1）求证：//平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 参考答案： （1）见解析（2） 【分析】 （1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面； （2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可. 【详解】（1） 连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴ . 又∵平面，平面,∴平面； （2）取中点，连接， ∵分别为的中点，∴， ∵平面，∴平面， ∴直线与平面所成角为， ∵，，∴. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。 19. 已知函数f（x）=x+ （Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明； （Ⅱ）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数； （Ⅲ）函数f（x）在（﹣1，0）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）． 参考答案： 证明：（I）函数为奇函数 （II）设x1，x2∈（0，1）且x1＜x2 = ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0， ∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0． ∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1） 因此函数f（x）在（0，1）上是减函数 （III）f（x）在（﹣1，0）上是减函数． 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：常规题型． 分析：（I）用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．（II）先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，（III）由函数图象判断即可． 解答：证明：（I）函数为奇函数 （II）设x1，x2∈（0，1）且x1＜x2 = ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0， ∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0． ∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1） 因此函数f（x）在（0，1）上是减函数 （III）f（x）在（﹣1，0）上是减函数． 点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性定义，要注意奇偶性要先判断，单调性变形要到位 20. 已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立。 求：（1）求函数f(x)的解析式； （2）设，求时M(x)的值域。 参考答案： (1) ；(2) 【分析】 （1）将写成顶点式，然后根据最小值和对称轴进行分析；（2）先将表示出来，然后利用换元法以及对勾函数的单调性求解值域. 【详解】解：（1）∵ 又∵ ∴对称轴为 ∵值域为 ∴且 ∴,，则函数 （2）∵ ∵ ∴令,则 ∴ ∵∴，则 所求值域为 【点睛】对于形如的函数，其单调增区间是：和，单调减区间是：和. 21. 已知数列{}的前项和, （1）求数列的通项公式； （2）设,且，求. 参考答案： 解析:（1）∵Sn=n2+2n  ∴当时，  当n=1时，a1=S1=3， ,满足上式. 故 （2）∵, ∴ ∴  ∴   22. 设函数，，，且以为最小正周期． （1）求的解析式；（2）已知，求的值． 参考答案： 解：（1）由题意         (2)          略