2022年山西省临汾市阳关中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则成立的一个充分不必要的条件是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 关于的方程在内有两个不相等实数根,则的取值
范围是
A. B. C. D.或
参考答案:
B
略
3. 根据新高考改革方案,某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试.某学校为了解高一年级425名学生选课情况,在高一年级下学期进行模拟选课,统计得到选课组合排名前4种如下表所示,其中物理、化学、生物为理科,政治、历史、地理为文科,“√”表示选择该科,“×”表示未选择该科,根据统计数据,下列判断错误的是( )
学科
人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
124
√
√
×
×
×
√
101
×
×
√
×
√
√
86
×
√
√
×
×
√
74
√
×
√
×
√
×
A.前4种组合中,选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合
B.前4种组合中,选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数
C.整个高一年级,选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数
D.整个高一年级,选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数
参考答案:
D
前4种组合中,选择生物学科的学生有三类:“生物+历史+地理”共计101人,
“生物+化学+地理”共计86人,“生物+物理+历史”共计74人,故选择生物学科的学生中,
更倾向选择两理一文组合,故A正确.
前4种组合中,选择两理一文的学生有三类:“物理+化学+地理”共计124人,
“生物+化学+地理”共计86人,“生物+物理+历史”共计74人;
选择两文一理的学生有一类:“生物+历史+地理”共计101人,故B正确.
整个高一年级,选择地理学科的学生总人数有人,故C正确.
整个高一年级,选择物理学科的人数为198人,选择生物学科的人数为261人,故D错误.
综上所述,故选D.
4. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0,且在[3,4]上是增函数,A、B是锐角三角形的两个内角,则( )
A. f(sinA)f(cosB)
C. f(sinA)>f(sinB) D.f(cosA)>f(cosB)
参考答案:
A
5. 已知三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AC=2,且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.4π B.8π C.16π D.20π
参考答案:
B
【考点】球的体积和表面积.
【分析】由题意,将三棱锥扩充为长方体,长方体的对角线PC为外接球的直径,PC=2,由此可求球O的表面积.
【解答】解:由题意,将三棱锥扩充为长方体,长方体的对角线PC为外接球的直径,PC=2,
半径为,∴球O的表面积为4π?2=8π,
故选B.
6. (5分)在△ABC中,a,b,c分别是三内角A、B、C的对边,A=75°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为( )
A. B. C. D.
参考答案:
考点: 正弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析: 由三角形内角和定理算出B=60°,从而得到角C是最小角,边c是最小边.再由正弦定理的式子,结合题中数据解出c=,即可得到此三角形的最小边长.
解答: ∵△ABC中,A=75°,C=45°,
∴B=180°﹣(A+C)=60°,得角C是最小角,边c是最小边
由正弦定理,得,解之得c=
即三角形的最小边长为
故选:C
点评: 本题给出三角形两个角及第三个角的对边,求三角形中最小的边长,着重考查了三角形内角和定理、大角对大边和正弦定理等知识,属于基础题.
7. 关于的不等式()的解集为,则的
最小值是
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知集合,则( )
A.或 B.或 C. D.
参考答案:
A
9. 若函数没有零点,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 函数f(x)=1+log2x与在同一直角坐标系下的图象大致是( )
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若 满足,则的最大值为
参考答案:
12. 一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为
.
参考答案:
8++
略
13. 设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号).
参考答案:
②④
14. 已知函数,则不等式的解集为 .
参考答案:
略
15. 如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M,则点M恰好取自阴影部分的概率为 .
参考答案:
16. 在△中,三个内角所对的边分别是.若,则 .
参考答案:
17. 已知实数满足,若的最大值为则
参考答案:
9
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆上,为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值.
参考答案:
解:(I)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为, 则所以椭圆的方程为……5分
(II)当直线斜率存在时,设直线方程为,
则由
消去得,, …………………6分
, ①…………7分
设点的坐标分别为,则:
,…………8分
由于点在椭圆上,所以 . ……… 9分
从而,化简得,经检验满足①式.
………10分
又点到直线的距离为:
………11分
当且仅当时等号成立 ………12分
当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,
从而点的坐标为,直线的方程为,所以点到直线的距离为1 .
所以点到直线的距离最小值为 . ………13分
19. 某校从高一年级学生中随机抽取50名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:,得到如图所示的频率分布直方图.
(I)若该校高一年级共有学生1000人,试估计成绩不低于60分的人数;
(II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组,即从成绩中选两位同学,共同帮助中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.
参考答案:
解:(Ⅰ)根据频率分布直方图,
成绩不低于60分的频率为. …………2分
由于该校高一年级共有学生1000人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为
人. …………………………………………………5分
(Ⅱ)成绩在分数段内的人数为人
成绩在分数段内的人数为人,…………………………7分
[40,50)内有2人,记为甲、A.[90,100)内有5人,记为乙、B、C、D、.
则“二帮一”小组有以下20种分组办法:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙, 甲BC,
甲BD,甲B ,甲CD, 甲C, 甲DE, A乙B,A乙C,A乙D,A乙E,ABC,ABD,ABE , ACD, ACE, ADE ……………………10分
其中甲、乙两同学被分在同一小组有4种办法:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙
所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为. …………12分
略
20. (本小题满分12分)
数列前项和为,.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)设,数列前项和为,求证:.
参考答案:
(本小题满分12分)
解:(1)
……2分
又 …… 4分
故数列是首项为3,公比为3的等比数列 …… 6分
(2)由(1)
…… 9分
= ……11分
…… 12分
略
21. 已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
(1)试求动点的轨迹方程;
(2)设直线与曲线交于M.N两点,当时,求直线的方程.
参考答案:
解:(1)设点,则依题意有,
整理得,由于,
22. (本小题12分)
某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次当前投资生活方式----“房地产投资”的调查,得到如下统计和各年龄段人数频率分布直方图:
组数
分组[来源:
房地产投资的人数
占本组的频率
第一组]
[25,30)
120
0.6
第二组
[30,35)
195
p
第三组
[35,40)
100
0.5
第四组
[40,45)
a
0.4
第五组
[45,50)
30
0.3
第六组
[50,55]
15
0.3
(1)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;
(2)从年龄在[40,50)岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取18人参加投资管理学习活动,其中选取3人作为代表发言,记选取的3名代表中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和期望EX.
参考答案:
略