河南省济源市第三中学2022-2023学年高一数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数满足 若目标函数的最小值为,则实数等于( )
A.3 B.4 C.5 D.7
参考答案:
C
2. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 若集合,,则是( )
A B C D 有限集
参考答案:
B
略
4. 若圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A. 1 B. C. D.
参考答案:
D
设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,
V柱︰V锥=πR2h︰πr2h=3︰4,故选D.
5. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2009)的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
参考答案:
解析:由已知得,,,
,,
,,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)= f(5)=1,故选C.
6. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=()x﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是( )
A.(,2) B.(,2) C.[,2) D.(,2]
参考答案:
B
【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质.
【分析】由已知中f(x)是定义在R上的偶函数,对于任意的x∈R,都有f(x﹣2)=f(2+x),我们可以得到函数f(x)是一个周期函数,且周期为4,则不难画出函数f(x)在区间(﹣2,6]上的图象,结合方程的解与函数的零点之间的关系,我们可将方程f(x)﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解,转化为函数f(x)的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点,数形结合即可得到实数a的取值范围.
【解答】解:设x∈[0,2],则﹣x∈[﹣2,0],
∴f(﹣x)=()﹣x﹣1=2x﹣1,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=f(﹣x)=2x﹣1.
∵对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),
∴当x∈[2,4]时,(x﹣4)∈[﹣2,0],
∴f(x)=f(x﹣4)=xx﹣4﹣1;
当x∈[4,6]时,(x﹣4)∈[0,2],
∴f(x)=f(x﹣4)=2x﹣4﹣1.
∵若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,
∴函数y=f(x)与函数y=loga(x+2)在区间(﹣2,6]上恰有三个交点,
通过画图可知:恰有三个交点的条件是,解得:<a<2,
即<a<2,因此所求的a的取值范围为(,2).
故选:B
7. 已知、为非零实数,且,则下列命题成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 角α的始边在x轴正半轴、终边过点P(3,4),则sinα的值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 已知,是夹角为60°的两个单位向量,则=2+与=﹣3+2的夹角的正弦值是( )
A.
B.
﹣
C.
D.
﹣
参考答案:
A
10. 已
已知、、构成公差不为0的等差数列,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
解析: 由已知有,
故,
即,
,
即,若,则原等差数列的公差等于0,故,
有,于是
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,函数的图象恒过定点, 若在幂函数的图象上,则_________.
参考答案:
12. 锐角△ABC中,边长,,则边长的取值范围是
参考答案:
略
13. 已知数列满足关系式,则的值是_________________________。
参考答案:
解析:设
即
故数列是公比为2的等比数列,
。
14. 函数对一切实数都满足,并且方程有三个实根,则这三个实根的和为 。
参考答案:
解析: 对称轴为,可见是一个实根,另两个根关于对称
15. 已知集合,,若,则=_____.
参考答案:
0或3
略
16. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,且C为锐角,则△ABC面积的最大值为________.
参考答案:
【分析】
由,,利用正弦定理求得.,再由余弦定理可得,利用基本不等式可得,从而利用三角形面积公式可得结果.
【详解】因为,又,
所以,又为锐角,可得.
因为,
所以,
当且仅当时等号成立,
即,
即当时,面积的最大值为. 故答案为.
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用,属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
17. 函数的图象为,
①图象关于直线对称;
②函数在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象;
④图象关于点对称.
其中,正确命题的编号是___________.(写出所有正确命题的编号)
参考答案:
①②
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数。
(1)证明的奇偶性;(3分)
(2)当时,试写出的单调区间并用定义证明;(4分)
(3)试在所给的坐标系中作出函数的图像。(3分)
参考答案:
解:(1),(1分)任取,都有
,所以为偶函数。——2分
(2)为增区间,为减区间。 ————————————————2分
任取,
,即在上为增函数;同理可证上为减函数。 ————————————————2分
(3)如图。
————————————————3分
19. (本小题满分12分)
已知,,设函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
参考答案:
解:(Ⅰ)
=,………5分
∴函数的最小正周期 …………7分
(Ⅱ)由…………9分
得
所以函数在上的单调递增区间为. …………12分
20. (本题12分)青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔,拥有长580米,宽40余米的沙滩,是亚洲较大的海水浴场.已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(,单位:小时)的函数,记作.下表是某日各时刻记录的浪高数据:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
经长期观测,的曲线可近似地看成是函数的图象.
(Ⅰ)根据以上数据,求函数的最小正周期T,振幅A及函数表达式;
(Ⅱ)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间,哪段时间可对冲浪爱好者开放?
参考答案:
21. 已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.
参考答案:
∵A∪B=A,∴B?A.
又A={x|-2≤x≤5},
当B=时,由m+1>2m-1,
解得m<2.
当B≠时,则
解得2≤m≤3.
综上可知,m∈(-∞,3].
22. 奇函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的减函数,且f(1﹣a)+f(2a﹣1)<0,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】利用函数的奇偶性可把不等式(1﹣a)+f(2a﹣1)<0化为f(2a﹣1)<f(a﹣1),
再根据单调性可去掉符号“f”,变为2a﹣1>a﹣1,再考虑到定义域即可求出a的范围.
【解答】解:因为f(x)为奇函数,所以不等式(1﹣a)+f(2a﹣1)<0,可化为f(2a﹣1)<﹣f(1﹣a)=f(a﹣1),
又f(x)是定义在(﹣1,1)上的减函数,故有:
,解得0<a<1,
所以实数a取值范围是:{x|0<a<1}.