2022年广东省梅州市千顷中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（     ） A. 和       B. 和 C. 和       D. 和 参考答案： B 略 2. 直线l过点(－4,0)，且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为(　　) A．5x＋12y＋20＝0       B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0 C．5x－12y＋20＝0       D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 参考答案： D 略 3. 在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 【考点】结构图． 【分析】先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解； 再将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内； 最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，从而形成知识结构图． “求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的， 故三者均为其上位． 【解答】解：根据知识结构图得， “求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的， 故“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”均为“求简单函数的导数”的“上位”要素，共有3个． 故选：C． 4. 若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（　　） A．     B． C． D． 参考答案： A 5. 曲线在点处的切线方程为（     ） A.     B.   C.     D. 参考答案： A 略 6. 如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　） A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D． 参考答案： C 【考点】不等式的基本性质． 【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可． 【解答】解：对于A，c≤0时，不成立， 对于B，﹣a＜﹣b， 对于C，根据不等式的性质，成立， 对于D，a，b是负数时，不成立， 故选：C． 7. 已知直线l1 经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（　　） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 参考答案： A 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】直线与圆． 【分析】由斜率公式可得直线l1的斜率，由倾斜角可得直线l2的斜率，可判垂直关系． 【解答】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1， 又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1， 显然满足k1?k2=﹣1，∴l1与l2垂直 故选A 【点评】本题考查直线的垂直关系的判断，属基础题． 8. 设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是 A. （-∞，-1）∪（0，1）    B. （-1，0）∪（1，+∞） C. （-∞，-1）∪（-1，0）    D. （0，1）∪（1，+∞） 参考答案： A 9. 的值为                                       （      ） ．               .          .             .1 参考答案： C 10. 曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（　　） A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 参考答案： A 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上 ∵y=x3﹣2x+1， y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1； 所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为： y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1． 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知,则     . 参考答案： 考点：两角差的正切公式及运用． 12. 设直线x－3y+m=0（m≠0）与双曲线=1(a＞0, b＞0)的两条渐近线分别交于A、B两点，若P(m, 0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率为           . 参考答案： . 13. 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________． 参考答案： 4 略 14. 如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为__________. 参考答案： 略 15. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为           __； 参考答案： 4 16. 的值为      ． 参考答案： 15 17. 设，，则A          B（填入“＞”或“＜”）． 参考答案： ＞ 由题意可知 ， 则比较A,B的大小，只需比较 和 的大小， 只需比较 和 的大小， 又由 ，所以 ，即 ，即A＞B.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知数列的前和为，其中且 (1)求(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 参考答案： 解答：（1）         又，则，类似地求得      （2）由，，…          猜得：         以数学归纳法证明如下：         ①当时，由（1）可知等式成立； ②假设当时猜想成立，即                 那么，当时，由题设得 ，                  所以＝＝                      －                    因此，                   所以                   这就证明了当时命题成立.                    由①、②可知命题对任何都成立. 略 19. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：+=1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q． （1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； （2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1?k2的值； （3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 参考答案： 【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）求得圆的半径r，由两直线垂直和相切的性质，可得|OR|=4，解方程可得圆心R的坐标，进而得到圆的方程； （2）设出直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，运用韦达定理，由R在椭圆上，即可得到k1?k2的值； （3）讨论①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值36；②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36． 【解答】解：（1）由圆R的方程知圆R的半径， 因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切， 所以，即① 又点R在椭圆C上，所以② 联立①②，解得， 所以，所求圆R的方程为； （2）因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切， 所以，， 两边平方可得k1，k2为（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）=0的两根， 可得， 因为点R（x0，y0）在椭圆C上， 所以，即， 所以； （3）方法一①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由（2）知2k1k2+1=0， 所以，故． 因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上， 所以， 即， 所以， 整理得， 所以 所以． 方法（二）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立， 解得， 所以， 同理，得． 由（2）2k1k2+1=0，得， 所以 =， ②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36． 综上：OP2+OQ2=36． 【点评】本题考查椭圆方程的运用，以及直线和圆的位置关系：相切，考查点到直线的距离公式和直线方程的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题． 20. 圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；    ②与x轴相切；  ③被直线y=x+2截得的线段长为 （1）求圆C的方程； （2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r，利用条件建立方程组，即可求圆C的方程； （2）四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，从而可求的值． 【解答】解：（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r． 则有，解得… ∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4… （2）由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|?r=r= ∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，… 即为圆心C（1，2）到直线x+y+3=0的距离d=3． ∴|PC|最小为 ∴四边形PEMF的面积S的最小值为… 此时||=||=，设∠CPE=∠CPF=α，则… ∴=||2cos2α=||2 （1﹣2sin2α）=… 21. 在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）    （1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；    （2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点（在之间），试求与面积之比的取值范围。 参考答案： （1）      化简得：．．．．．．2     1．时方程为 轨迹为一条直线．．．．．．3        ③．时方程为轨迹为圆．．．．．．4     ③．时方程为轨迹为椭圆   ．．．．．．．5     ④．时方程为轨迹为双曲线。     ．．．．6    （2）点轨迹方程为，       ．．．．．．7     设直线直线方程为，联立方程可得：。            ．10     由题意可知：，所以        ．．．．．13 22. 已知定义域为的函数是奇函数． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 参考答案：                                        （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 由上式易知在上为减函数。                              （7分） 又因为为奇函数，从而不等式， 等价于                       （8分）     略