2022年广东省湛江市石岭中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题中是真命题的为( )
A., B.,
C.,, D.,,
参考答案:
C
略
2. 已知函数是定义在上的可导函数,其导函数记为,若对于任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集为
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 当时,函数的值域是
参考答案:
D
4. 设全集,则集合(CUM)∩N等于
A. B.(1,2) C.(—2,1) D.
参考答案:
B
5. 在平面直角坐标系中,圆被直线()截得的弦长为2,角的始边是轴的非负半轴,终边过点,则的最小值( )
A. B.1 C. D.2
参考答案:
B
6. 已知实数满足条件,则使不等式成立的点的区域的面积为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:作出可行域,如图内部(含边界),再作直线,可行域内满足不等式的区域是,其中,.故选A.
考点:二元一次不等式组表示的平面区域.
7. 若,,则角的终边落在直线( )上
A. B.
C. D.
参考答案:
B
可得,则,角的终边落在直线,即.
8. 函数f(x)=ex+x2+x+1与g(x)的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称,P,Q分别是函数f(x),g(x)图象上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】根据函数f(x)和g(x)关于直线2x﹣y﹣3=0,则利用导数求出函数f(x)到直线的距离的最小值即可.
【解答】解:∵f(x)=ex+x2+x+1,
∴f′(x)=ex+2x+1,
∵函数f(x)的图象与g(x)关于直线2x﹣y﹣3=0对称,
∴函数f(x)到直线的距离的最小值的2倍,即可|PQ|的最小值.
直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2,
由f′(x)=ex+2x+1=2,
即ex+2x﹣1=0,
解得x=0,
此时对于的切点坐标为(0,2),
∴过函数f(x)图象上点(0,2)的切线平行于直线y=2x﹣3,
两条直线间距离d就是函数f(x)图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离,
此时d=,
由函数图象的对称性可知,|PQ|的最小值为2d=2.
故选:D.
9. 已知命题,命题,则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知关于面xoy的对称点为B,而A关于x轴对称的点为C,则( )
(A)(0,4,2) (B)(0,-4,-2) (C)(0, -4 ,0) (D)(2,0,-2)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 .
参考答案:
(,)
考点:双曲线的简单性质.
专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:先确定双曲线的渐近线斜率2<<3,再根据=,即可求得双曲线离心率的取值范围.
解答: 解:由题意可得双曲线的渐近线斜率2<<3,
∵===,
∴<e<,
∴双曲线离心率的取值范围为(,).
故答案为:(,).
点评:本题考查双曲线的性质,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用=,属于中档题
12. 已知向量,满足,,,则 .
参考答案:
13. 已知向量共线,则等于 。
参考答案:
14. i是虚数单位,则的值为__________.
参考答案:
【分析】
先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一:.
解法二:.
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
15. 在中,已知,,三角形面积为12,则 .
参考答案:
试题分析:根据三角形的面积公式可知,解得,所以.
考点:三角形的面积,余弦的倍角公式.
16. 已知角的顶点在坐标原点,始边写轴的正半轴重合,,角的终边与单位圆交点的横坐标是,角的终边与单位圆交点的纵坐标是 。
参考答案:
略
17. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足,则______
参考答案:
【分析】
对题目所给等式进行赋值,由此求得的表达式,判断出数列是等比数列,由此求得的值.
【详解】解:,可得时,,
时,,又,
两式相减可得,即,上式对也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得.
【点睛】本小题主要考查已知求,考查等比数列前项和公式,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品的质量,从两厂生产的产品中随机抽取各10件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:
甲厂 乙厂
9 0
3 9 6 5 8 1 8 4 5 6 9 0 3
1 5 0 3 2 1 0 3
规定:当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时,该产品为优等品.
(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率;
(Ⅱ)从乙厂抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望;
(Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取3件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.
参考答案:
解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有6件,优等品率为
乙厂抽取的样本中优等品有5件,优等品率为………………2分
(II)的取值为0,1,2,3.
所以的分布列为
0
1
2
3
故……………………9分
(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件,即A=“抽取的优等品数甲厂2件,乙厂0件”,B=“抽取的优等品数甲厂3件,乙厂1件”
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为…13分
19. (本题满分14分)
设函数.
(1). 求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2). 设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB=,,求sinA.
参考答案:
解:(1)
==
所以函数f(x)的最大值是,最小正周期为。
(2)==, 所以,
又C为ABC的内角 所以,
又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以
。
20. (本小题满分12分)已知函数图象上的点处的切线方程为.
⑴若函数在处有极值,求的表达式;
⑵若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
参考答案:
21. (12分)
已知△ABC的面积S满足
(I)求θ的取值范围;
(II)求函数的最大值。
参考答案:
解析:(I)由题意知 …………1分
(II)
…………10分
22. 已知正项递增的等差数列,为数列的前项和,若=12,且成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
参考答案:
解:(1)
设数列的公差为(>0),由题意得,
得,,所以
(2)所以
(1)
,(2)
(1)-(2):
所以。
略