2022年河南省商丘市夏邑县重点中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则Mar的值是
(A)2 (B)-2 (C) 3 (D)-3
参考答案:
A
略
2. 设函数f(x)=则f(﹣1)+f(log318)=( )
A.2 B.6 C.8 D.20
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可.
【解答】解:f(﹣1)=1+log3(2﹣(﹣1))=1+log33=1+1=2,
f(log318)==18,
则f(﹣1)+f(log318)=2+18=20,
故选:D.
【点评】本题主要考查函数值的计算,根据分段函数的表达式是解决本题的关键.
3. 已知为等差数列,其前项和为,若,,则公差等于
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
因为,,所以,解得,所使用,解得,选C.
【解析】略
4. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. π
C. D. 2π
参考答案:
B
5. 输入时,运行如图所示的程序,输出的值为
A.4 B.5 C.7 D.9
参考答案:
C
6. 如果命题 “(p或q)”为假命题,则
A.p,q均为真命题 B.p,q均为假命题
C.p,q中至少有一个为真命题 D. p, q中至多有一个为真命题
参考答案:
C
命题“(p或q)”为假命题,则p或q为真命题,所以p,q中至少有一个为真命题,选C.
7. 已知{an}满足a1=1,an+an+1=()n(n∈N*),Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an,则5Sn﹣4nan=( )
A.n﹣1 B.n C.2n D.n2
参考答案:
B
【考点】数列的求和.
【分析】an+an+1=()n(n∈N*),变形为:an+1﹣=﹣,利用等比数列通项公式即可得出.
【解答】解:∵an+an+1=()n(n∈N*),
∴an+1﹣=﹣,
∴数列是等比数列,首项为,公比为﹣1.
∴an=+×(﹣1)n﹣1.
4n﹣1an=+(﹣1)n﹣1××4n.
4nan=+(﹣1)n﹣1×.
∴5Sn=n﹣=n+﹣.
∴5Sn﹣4nan=n.
故选:B.
8. 设,则“是第一象限角”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
充分性:若是第一象限角,则, ,可得,必要性:若,不是第三象限角,,,则是第一象限角,“是第一象限角”是“”的充分必要条件,故选C.
9. 已知在上有两个零点,则的取值范围为( )
A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2]
参考答案:
C
10. 已知函数是定义在R上的奇函数,且当时不等式成立, 若,,,则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是 .
参考答案:
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱锥的结构特征.
【专题】计算题.
【分析】通过圆锥的侧面展开图,求出圆锥的底面周长,然后求出底面半径,求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积.
【解答】解:圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,
所以圆锥的底面周长为:2π,
底面半径为:1,圆锥的高为:;
圆锥的体积为:=
【点评】本题是基础题,考查圆锥的侧面展开图,利用扇形求出底面周长,然后求出体积,考查计算能力,常规题型.
12. 已知双曲线C:,过双曲线C的右焦点F作C的渐近线的垂线,垂足为M,延长FM与y轴交于点P,且,则双曲线C的离心率为 .
参考答案:
双曲线:的渐近线方程为,右焦点
过与渐近线垂直的直线为
由可解得:,
在中,令,可得:
,
整理得:,则
即双曲线的离心率为
13. (选修4—5 不等式选讲) 若对于任意实数x不等式恒成立,则实数的取值范围是: .
参考答案:
令,则,所以函数的最小值为,所以要使对于任意实数x不等式恒成立,只需。
【答案】
【解析】略
14. 用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查,已知样本容量为80,其中有50件甲型号产品,乙型号产品总数为1800,则该批次产品总数为 .
参考答案:
4800
考点: 分层抽样方法.
专题: 概率与统计.
分析: 求出抽样比,然后求解即可.
解答: 解:样本容量为80,其中有50件甲型号产品,乙型号产品总数为1800,
可得抽样比为:=,
该批次产品总数为:=4800.
故答案为:4800;
点评: 本题考查分层抽样的应用,就抽样比的解题的关键.
15. 已知函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是_____.
参考答案:
略
16. 一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为______.
参考答案:
4
17. 函数的零点是 。
参考答案:
-1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题10分)设F1,F2为椭圆的左、右焦点,动点P的坐标为(-1,m),过点F2的直线与椭圆交于A,B两点.
(Ⅰ)求F1,F2的坐标;
(Ⅱ)若直线PA,PF2,PB的斜率之和为0,求m的所有整数值.
参考答案:
解:(Ⅰ),
(Ⅱ)(i)当直线AB的斜率不存在时,由对称性可知m=0.
(ii)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的斜率为k,.
由题意得
直线PA的斜率为;直线的斜率为;
直线PB的斜率为.
由题意得.
化简整理得
将直线AB的方程代入椭圆方程,化简整理得
.
由韦达定理得
代入并化简整理得.从而
当时,;当时,
故m的所有整数值是-2,-1,0,1,2.
19. 已知过点A(-4,0)的动直线与抛物线G:相交于B,C两点。当直线的斜率是时,.
(1)求抛物线G的方程;
(2)设线段BC的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围。
参考答案:
20. 在平面直角坐标系中,设动点到坐标原点的距离与到轴的距离分别为,,且,记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)设过点(0,-2)的直线与相交于,两点,当的面积为1时,求.
参考答案:
(1)设,则,,
则,故的方程为(或).
(2)依题意当轴不合题意,故设直线:,设,,
将代入,得,
当,即时,
,,
从而,
又点到直线的距离,
所以的面积,
整理得,即(满足),
所以.
21. (12分)
设是一常数,过点的直线与抛物线交于相异两点A、B,以线段AB为直经作圆H(H为圆心)试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程
参考答案:
解析:解法一:由题意,直线AB不能是水平线, 故可设直线方程为:.
又设,则其坐标满足
消去x得
由此得
因此.
故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H()是AB的中点,故
由前已证,OH应是圆H的半径,且.
从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.
此时,直线AB的方程为:x=2p.
解法二:由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:ky=x-2p
又设,则其坐标满足
分别消去x,y得
故得A、B所在圆的方程
明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,
又知A、B中点H的坐标为
故
而前面圆的方程可表示为
故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB为直径的圆必过点O(0,0).
又,
故当k=0时,R2最小,从而圆的面积最小,此时直线AB的方程为:x=2p.
解法三:同解法一得O必在圆H的圆周上
又直径|AB|=
上式当时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.
此时直线AB的方程为x=2p.
22. 如图,⊙O的半径为6,线段AB与⊙相交于点C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与⊙O相交于点.
(1)求BD长;
(2)当CE⊥OD时,求证:AO=AD.
参考答案:
【考点】相似三角形的判定.
【专题】推理和证明.
【分析】(1)证明△OBD∽△AOC,通过比例关系求出BD即可.
(2)通过三角形的两角和,求解角即可.
【解答】解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB.
∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴,
∵OC=OD=6,AC=4,∴,∴BD=9.…
(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A.
∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO.
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似,角的求法,考查推理与证明,距离的求法.