2022年贵州省贵阳市师范大学附属中学 高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若点是角终边上异于原点的一点,则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
2. 集合M={x|x= k·90°450 }与P={x|x=m·45°}之间的关系为( )
A.MP B.PM C.M=P D.M∩P=
参考答案:
A
3. 函数 f(x)=3x+x﹣5,则函数 f(x)的零点一定在区间( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】二分法求方程的近似解.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】根据函数零点存在定理,若f(x)=3x+x﹣5若在区间(a,b)上存在零点,则f(a)?f(b)<0,我们根据函数零点存在定理,对四个答案中的区间进行判断,即可得到答案.
【解答】解:当x=1时,f(1)=31+1﹣5=﹣1<0
当x=2时,f(2)=32+2﹣5=6>0
即f(1)?f(2)<0
又∵函数f(x)=3x+x﹣5为连续函数
故函数f(x)=3x+x﹣5的零点一定位于区间(1,2)
故选B
【点评】本题考查的知识点是零点存在定理,我们求函数的零点通常有如下几种方法:①解方程;②利用零点存在定理;③利用函数的图象,其中当函数的解析式已知时(如本题),我们常采用零点存在定理.
4. 已知,,,,那么( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
5. 若=(x,y),x∈{0,1,2},y∈{-2,0,1),a=(1,-1),则与a的夹角为锐角的概率是____.
参考答案:
6. 已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,6},那么(?UA)∩B等于( )
A.{2,4,6} B.{4,6} C.{3,4,6} D.{2,3,4,6}
参考答案:
B
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据补集和交集的定义写出运算结果即可.
【解答】解:集合U={1,2,3,4,5,6},
A={1,3,5},B={3,4,6},
则?UA={2,4,6},
所以(?UA)∩B={4,6}.
故选:B.
7. 函数f(x)=x5+x﹣3的零点所在的区间是( )
A.[0,1] B.[1,2] C.[2,3] D.[3,4]
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用函数的单调性和函数零点的判定定理即可得出.
【解答】解:由函数f(x)=x5+x﹣3可知函数f(x)在R上单调递增,又f(1)=1+1﹣3=﹣1<0,f(2)=25+2﹣3>0,
∴f(1)f(2)<0,
因此函数f(x)在(1,2)上存在唯一零点.
故选B.
【点评】本题考查了函数的单调性和函数零点的判定定理,属于基础题.
8. 已知函数的定义域为,值域为,那么满足条件的整数对共有 ( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
参考答案:
B
略
9. 若角a的终边在直线y= - 2x上,且sin a>0,则值为( )
A. B.
C. D.-2
参考答案:
B
10. 在平行四边形ABCD中,BD为一条对角线,若, (-3,-5)则( )
A.(-2,-4) B.(1,3) C.(3,5) D.(2,4)
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是___________
参考答案:
12. 过点(1,2)总可以向圆x2+y2+2kx+2y+k2-15=0作两条切线,则k的取值范围是____
参考答案:
略
13. 若,则取值范围________
参考答案:
略
14. 函数的定义域是 。
参考答案:
且
15. 定义在R上的函数,如果存在函数为常数),使得≥对一切实数都成立,则称为的一个承托函数.现有如下命题:
①对给定的函数,其承托函数可能不存在,也可能无数个;
②=2x为函数的一个承托函数;
③若函数为函数的承托函数,则a的取值范围是;
④定义域和值域都是R的函数不存在承托函数;
其中正确命题的序号是 .
参考答案:
(1)(3)
略
16. 不等式组所表示的平面区域的面积等于
参考答案:
17. 设等差数列{an}的公差为d(),其前n项和为Sn.若,,则d的值为________
参考答案:
-10
【分析】
由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式,可得,求解即可得答案.
【详解】由,
得,解得d=﹣10.
故答案为:﹣10.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,熟记公式,准确计算是关键,属基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知全集U=R,集合A=,B={y|y=log2x,4<x<16},
(1)求图中阴影部分表示的集合C;
(2)若非空集合D={x|4﹣a<x<a},且D?(A∪B),求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】Venn图表达集合的关系及运算;集合的包含关系判断及应用.
【分析】(1)由图知:C=A∩(CUB),分别求出函数的定义域和值域得到A,B,再根据补集的定义和交集的定义即可求出,
(2)先根据并集的定义和集合与集合之间的关系,即可求出a的范围.
【解答】解:(1)由图知:C=A∩(CUB),
由x2﹣4x+3≥0,解得x≥3或x≤1,则A=(﹣∞,1]∪[3,+∞)
由y=log2x,4<x<16,则B=(2,4),
∴CUB=(﹣∞,2]∪[4,+∞),
∴C=A∩(CUB)=(﹣∞,1]∪[4,+∞),
(2)∵A∪B=(﹣∞,2)∪[3,+∞),
由非空集合D={x|4﹣a<x<a},且D?(A∪B),
∴或,
解得a为空集,
∴a∈?
19. (12分)已知函数,求
(1)的最小正周期;
(2)在区间上的最大值和最小值。
参考答案:
化简得
(1)的最小正周期为
(2)由 得
∴ 当 即 时
当 即 时
20. 某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p= ,该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=﹣t+40(0<t≤30,t∈N),求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?
参考答案:
【考点】分段函数的应用.
【分析】设日销售金额为y(元),则y=p?Q,对每段化简和配方,根据二次函数的性质,分别求解每段函数的最大值,由此能求出商品的日销售额y的最大值.
【解答】解:设日销售金额为y(元),则y=p?Q,
y=
=
=,
当0<t<25,t∈N,t=10时,ymax=900(元);
当25≤t≤30,t∈N,t=25时,ymax=1125(元).
由1125>900,知ymax=1125(元),且第25天,日销售额最大.
21. 若函数为奇函数,当时,(如图).
(1)求函数的表达式,并补齐函数的图象;
(2)用定义证明:函数在区间[1,+∞)上单调递增.
参考答案:
(1) 任取,则由为奇函数,
则
综上所述,
(2)任取,且,
则
∵ ∴
又由,且,所以,∴
∴,∴,即
∴函数在区间上单调递增。
22. (12分)某小学四年级男同学有45名,女同学有30名,老师按照分层抽样的方法组建了一个5人的课外兴趣小组.
(Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.
参考答案:
(Ⅰ)某同学被抽到的概率为 (2分)
设有名男同学被抽到,则有,
∴抽到的男同学为3人,女同学为2人 (4分))
(Ⅱ)把3名男同学和2名女同学分别记为a,b,c ,m,n,则选取2名同学的基本事件有
(a,b,),(a,c),(a,m),(a,n),(b,c),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(m,n),(b,a),(c,a),(m,a),(n,a),(c,b),(m,b),(n,b),(m,c),(n,c),(n,m).
共20个, (8分)
基中恰好有一名女同学有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n)(c,m),(c,n),(m,a),(n,a),
m,b),(n,b),(m,c),(n,c),12种 (10分)
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 (12分)