山西省临汾市贾罕中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC的两边长分别为2,3,这两边的夹角的余弦值为,则△ABC的外接圆的直径为( )
A. B. C. D.8
参考答案:
B
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为,由余弦定理可求第三边的长,根据正弦定理即可求得外接圆的直径.
【解答】解:△ABC的两边长分别为2、3,其夹角的余弦为,故其夹角的正弦值为,
由余弦定理可得第三边的长为:=3,
则利用正弦定理可得:△ABC的外接圆的直径为=.
故选:B.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,三角形的面积公式,属于基础题.
2. 已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则( )
A., B., C., D.,
参考答案:
C
3. 已知是虚数单位,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 设双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若在曲线C的右支上存在点P,使得△PF1F2的内切圆半径为a,圆心记为M,又△PF1F2的重心为G,满足MG∥F1F2,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
C
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】设P(s,t)(s,t>0),F1(﹣c,0),F2(c,0),运用三角形的重心坐标,求得内心的坐标,可得t=3a,再结合双曲线的定义和等积法,求得|PF2|=2c﹣a,再由双曲线的离心率公式和第二定义,可得s=2a,将P的坐标代入双曲线的方程,运用a,b,c的关系和离心率公式,即可得到所求值.
【解答】解:设P(s,t)(s,t>0),F1(﹣c,0),F2(c,0),
可得重心G(,)即(,),
设△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N,与边PF1的切点为K,
与边PF2上的切点为Q,
则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同.
由双曲线的定义,|PF1|﹣|PF2|=2a.①
由圆的切线性质|PF1|﹣PF2|=|FIK|﹣|F2Q|=|F1N|﹣|F2N|=2a,
∵|F1N|+|F2N|=|F1F2|=2c,∴|F2N|=c﹣a,|ON|=a,
即有M(a,a),
由MG∥F1F2,
则△PF1F2的重心为G(,a),即t=3a,
由△PF1F2的面积为?2c?3a=a(|PF1|+|PF2|+2c),
可得|PF1|+|PF2|=4c②
由①②可得|PF2|=2c﹣a,
由右准线方程x=,双曲线的第二定义可得
e==,解得s=2a,
即有P(2a,3a),代入双曲线的方程可得
﹣=1,可得b=a,
c==2a,即e==2.
故选:C.
6. 已知函数的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如图所示,则该函数的图像大致是( )
参考答案:
B
7. 一个物体的位移(米)和与时间(秒)的关系为,则该物体在4秒末的瞬时速度是 ( )
A.12米/秒 B.8米/秒 C.6米/秒 D.8米/秒
参考答案:
C
略
8. 已知集合,集合,则 等于
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下:
那么d
A. a B. b C. c D. d
参考答案:
A
10. 观察下列各式:,则的末四位数字为
A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 ( )
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面上画条直线,且任何两条直线都相交,任何三条直线都不共点.设这条直线将平面分成个部分,则= .
参考答案:
12. 已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,△ABC的面积为 .
参考答案:
13. 将函数的图象向__________平移个单位长度,得到函数的图象.
参考答案:
左
【分析】
由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
【详解】将函数y=3sin(2x)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为y=3sin[2(x)]=3sin(2x)
故答案为左
【点睛】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
14. 函数上的最小值
参考答案:
15. 已知= .
参考答案:
- 2
略
16. 给出下列命题:
①函数的零点有2个
②展开式的项数是6项
③函数图象与轴围成的图形的
面积是
④若,且,则
其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的编号)。
参考答案:
④
略
17. 已知对称轴为坐标轴且焦点在轴上的双曲线,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的方程为 ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
参考答案:
(1)见解析;(2).
(1)当时,;
当时,,
对不成立,所以数列的通项公式为.
(2)当时,,
当时,,
所以
,
又时,符合上式,所以.
19. (本题满分12分)已知是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,点在椭圆上,且·=0,⊙O是以F1F2为直径的圆,直线与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当·=,求k的值.
参考答案:
(1)依题意,可知PF1⊥F1F2,∴c=1,
依题意得
解得
∴椭圆的方程为 .4分
(2)直线l:y=kx+m与⊙O:相切,
则 .5分
由 得 .7分
∵直线与椭圆交于不同的两点A,B.
设
∴
∴,.10分
,
解得 .12分
20. 中国网通规定:拨打市内电话时,如果不超过3分钟,则收取话费0.22元;如果通话时间超过3分钟,则超出部分按每分钟0.1元收取通话费,不足一分钟按以一分钟计算。设通话时间为t(分钟),通话费用y(元),如何设计一个程序,计算通话的费用。
参考答案:
算法分析:数学模型实际上为:y关于t的分段函数。关系式如下:
其中t-3表示取不大于t-3的整数部分。
算法步骤如下:
第一步:输入通话时间t;
第二步:如果t≤3,那么y = 0.22;否则判断t∈Z 是否成立,若成立执行
y= 0.2+0.1× (t-3);否则执行y = 0.2+0.1×( t-3+1)。
第三步:输出通话费用c 。
算法程序如下:
INPUT “请输入通话时间:”;t
IF t<=3 THEN
y=0.22
ELSE
IF INT(t)=t THEN
y=0.22+0.1*(t-3)
ELSE
y=0.22+0.1*(INT(t-3)+1)
END IF
END IF
PRINT “通话费用为:”;y
END
21. (本题满分14分)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x,a∈R.
(Ⅰ)当时,求函数y=f(x)的极值;
(Ⅱ)是否存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b)?若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅱ)由题意
(1)当a≤0时,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
此时,不存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b); ……………7分
(2)当a>0时,令有x=0或,
(ⅰ)当即时,函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,在上单调递减,要存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),则,代入化简得……(1)
令,因恒成立,
故恒有,∴时,(1)式恒成立; ………10分
(ⅱ)当即时,函数f(x)在和上单调递增, 在上单调递减,
此时由题,只需,解得,又,
∴此时实数a的取值范围是; ……………12分
(ⅲ)当时,函数f(x)在上单调递增,
显然符合题意; ……………13分
综上,实数a的取值范围是.………………………… 14分
22. (本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求的值;
(2)若,△ABC的周长为5,求b.
参考答案:
解:(1)由得
……………………………………2分
得
即………………………………………………4分
由得
即 故…………………………………………6分
(2)由(1)知及正弦定理得
即………………………………………………8分
由余弦定理
故即…………………………10分
由得即
∴……………………………………………………………………12分
略