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湖南省衡阳市 县第四中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合,,则=( ) A. B. C. D. 参考答案: B 2. 若正四棱柱的底面边长为1,与底面ABCD成60°角,则到底面ABCD的距离为( ) A. B. 1 C. D. 参考答案: D 略 3. 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF是异面直线AC、A1D的公垂线,则EF与BD1的关系为( ) A.相交不垂直 B.相交垂直 C.异面直线 D.平行直线 参考答案: D 4. 已知数列中,,,若是等差数列,则等于( ) A. B. C. D. 参考答案: A 5. 下列哪组中的两个函数是相等函数 A. B. C. D. 参考答案: D 6. 设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列说法错误的是( ) A.若d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0 D.若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列 参考答案: C 7. 函数的一个单调增区间是( ) A. B. C. D. 参考答案: B 【分析】 对函数在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证,可得出正确选项. 【详解】对于A选项,当时,,所以,函数在区间上不单调; 对于B选项,当时,,所以,函数在区间上单调递增; 对于C选项,当时,,所以,函数在区间上单调递减; 对于D选项,当时,,所以,函数在区间上单调递减.故选:B. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间单调性的判断,一般利用验证法进行判断,即求出对象角的取值范围,结合正弦函数的单调性进行判断,考查推理能力,属于中等题. 8. 若实数x,y满足|x|﹣ln =0,则y关于x的函数的图象形状大致是( ) A. B. C. D. 参考答案: B 【考点】函数的图象. 【分析】由条件可得 y=,显然定义域为R,且过点(0,1),当x>0时,y=,是减函数,从而得出结论 【解答】解:若变量x,y满足|x|﹣ln =0, 则得 y=,显然定义域为R,且过点(0,1),故排除C、D. 再由当x>0时,y=,是减函数,故排除A, 故选B 9. 下列说法正确的是( ) A.两平行直线在直观图中仍平行 B.长度不等的线段在直观图中长度仍不等 C.矩形的中心投影一定是矩形 D.梯形的直观图是菱形 参考答案: A 10. 下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合与集合是同一个集合; (3)这些数组成的集合有个元素; (4)集合是指第二和第四象限内的点集。 A.个 B.个 C.个 D.个 参考答案: A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. (5分)满足条件{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 . 参考答案: 7 考点: 子集与真子集. 专题: 探究型. 分析: 利用条件{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6},确定M的元素情况,进而确定集合M的个数. 解答: 方法1:∵{1,2,3}?M,∴1,2,3∈M,且集合M至少含有4个元素, 又M?{1,2,3,4,5,6}, ∴M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6}, {1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,5,6},{1,2,3,4,5,6},共7个. 方法2: 由条件可知,1,2,3∈M,且集合M至少含有4个元素,即集合M还有4,5,6,中的一个,两个或3个,即23﹣1=7个. 故答案为:7. 点评: 本题主要考查利用集合关系判断集合个数的应用,一是可以利用列举法进行列举,二也可以利用集合元素关系进行求解.含有n个元素的集合,其子集个数为2n个. 12. 等比数列中,若和是方程的两个根,则 参考答案: 13. 若是奇函数,则 . 参考答案: 解析: 14. (5分)如图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是 ;. 参考答案: n≥22,或n>20 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 计算每一次执行循环n,s的值,和已知比较即可确定退出循环的判定条件. 解答: 第1次循环:n=2,s=; 第2次循环:n=4,s=+; 第3次循环:n=6,s=++; … 第10次循环:n=20,s=; 第11次循环:n=22,s=+; 故退出循环的判断条件是 n≥22,或n>20;. 故答案为:n≥22,或n>20;.. 点评: 本题主要考查算法和程序框图,属于基础题. 15. 若关于x的不等式的解集为,则实数m=____________. 参考答案: 试题分析:由题意得:1为的根,所以,从而 考点:一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系 16. 若指数函数f(x)=(2a﹣1)x在R内为增函数,则a的取值范围是 . 参考答案: (1,+∞) 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】令2a﹣1>1解出. 【解答】解:∵指数函数f(x)=(2a﹣1)x在R内为增函数, ∴2a﹣1>1,解得a>1. 故答案为(1,+∞). 【点评】本题考查了指数函数的单调性,是基础题. 17. 已知函数,是定义在区间上的奇函数,则_________. 参考答案: 27 【分析】 由于奇函数的定义域必然关于原点对称,可得m的值,再求 【详解】由于奇函数的定义域必然关于原点对称∴m=3, 故f(m)= 故答案为27. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,利用了奇函数的定义域必然关于原点对称,属于基础题. 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料,若生产1车皮甲种肥料,产生的利润为10000元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为5000元,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大利润? 参考答案: 解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产生利润z元,目标函数为z=10000x+5000y. 由题意满足以下条件: …………………………6分 可行域如图. 由图可以看出,当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大. 解方程组得M的坐标为x=2,y=2.所以zmax=10000x+5000y=30000. 故生产甲2车皮,乙2车皮能够产生最大的利润。……………………12分 略 19. (12分)如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(2,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程. 参考答案: 考点: 待定系数法求直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意分别求出直线OA、OB的方程,由方程设出A、B的坐标,由中点坐标公式求出点C的坐标,利用C在直线上和三点共线:斜率相等,列出方程组求出方程的解,即可求出A的坐标,结合P(2,0)求出直线AB的斜率,代入点斜式方程再化简即可得直线AB的方程. 解答: 由题意可得kOA=1,, 所以直线OA的方程为y=x,直线OB的方程为. 设A(m,m),B(﹣n,n), 所以AB的中点C的坐标为, 因为点C在直线上,且A、P、B三点共线, 所以,解得,…(8分) 所以. 又P(2,0),所以, 所以直线AB的方程为:y=(x﹣2),即.…(12分) 点评: 本题考查直线的有关知识:中点坐标公式、点斜式方程、三点共线:斜率相等,以及方程思想,考查计算能力. 20. A、B是单位圆O上的点,点A是单位圆与轴正半轴的交点,点在第二象限.记且. (1)求点坐标; (2)求的值. 参考答案: (1)(2) 21. 已知二次函数f(x)的最小值为1,且. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间上不单调,求实数a的取值范围. 参考答案: (1)依题意可设,由,得, 故.……………………………………………………………(6分) (2)要使函数在区间上不单调, 则, 解得. 所以实数的取值范围.…………………………………………………(12分) 22. (本题满分12分)设数列的前n项和为,若对任意都有 。①求数列的首项;②求证:数列是等比数列,并求 数列的通项公式;③若数列满足,且 ,求证:. 参考答案: 解:⑴∵ ∴ ⑵∵ ∴ (≥2)∴ ∴∴(为常数) (≥2) ∴数列是以为公比的等比数列∴ ⑶∵,,则 ① ② 用错位相减法①-②得 得,所以 略
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