湖南省邵阳市松坡实验中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
2. ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 随机事件A发生的概率的范围是( )
A.P(A)>0 B.P(A)<1 C.0<P(A)<1 D.0≤P(A)≤1
参考答案:
C
【考点】概率的基本性质.
【分析】利用随机事件的定义,结合概率的定义,即可得到结论.
【解答】解:∵随机事件是指在一定条件下可能发生,也有可能不发生的事件
∴随机事件A发生的概率的范围0<P(A)<1
当A是必然事件时,p(A)=1,当A是不可能事件时,P(A)=0
故选C.
4. 空间四边形ABCD中,对角线AC=BD,E,F,G,H分别为AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH是 ( )
A、正方形 B、矩形 C、梯形 D、菱形
参考答案:
D
略
5. 命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是( )
A.对任意x∈R,都有x2<1 B.不存在x∈R,使得x2<1
C.存在x0∈R,使得x02≥1 D.存在x0∈R,使得x02<1
参考答案:
D
6. 下列四个不等式:
①;②;③,
④恒成立的是
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
A
7. 在三棱锥中,,M在内,,,则的度数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 中心在原点的双曲线,一个焦点为,一个焦点到最近顶点的距离是,则双曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
9. 已知椭圆方程,椭圆上点M到该椭圆一个焦点F的距离是2,N是MF的中点,O是椭圆的中心,那么线段ON的长是 ( )
A.2 B.4 C.8 D.
参考答案:
B
10. 已知,且,则的最大值是
A.1 B.2 C.3 D.4 (原创题)
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. y=x2ex的单调递增区间是 .
参考答案:
12. (5分)若正数x,y满足,那么使不等式x+y﹣m>0恒成立的实数m的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,9)
∵不等式x+y﹣m>0恒成立?m<(x+y)min.
∵正数x,y满足,
∴x+y==5=9,当且仅当y=3,x=6时取等号.
∴使不等式x+y﹣m>0恒成立的实数m的取值范围是(﹣∞,9).
故答案为(﹣∞,9).
13. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_________.
参考答案:
略
14. 若,方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是__________________.(改编题)
参考答案:
15. 若在区间和上分别各取一个数,记为和,则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为 ▲ .
参考答案:
略
16. 在北京举办的第七届中国花博会期间,某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案,其中第①个图案只一个花盆;第②个,第③个,…的图案分
别按图所示的方式固定摆放.从第①个图案的第
一个花盆开始,以后每一个图案的花盆都自然摆
放在它们的周围,若以表示第n个图案的花
盆总数,则 ; (答案用n表示).
参考答案:
19,
略
17. 命题“”的否定是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球
(Ⅰ)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(Ⅱ)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
参考答案:
【考点】等可能事件的概率;随机事件.
【专题】计算题.
【分析】(1)由分步计数原理知这个过程一共有8个结果,按照一定的顺序列举出所有的事件,顺序可以是按照红球的个数由多变少变化,这样可以做到不重不漏.
(2)本题是一个等可能事件的概率,由前面可知试验发生的所有事件数,而满足条件的事件包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红),根据古典概型公式得到结果.
【解答】解:(I)一共有8种不同的结果,列举如下:
(红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)
(Ⅱ)本题是一个等可能事件的概率
记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3
由(I)可知,基本事件总数为8,
∴事件A的概率为
【点评】用列举法列举基本事件的个数,不仅能让学生直观的感受到对象的总数,而且还能使学生在列举的时候注意作到不重不漏.解决了求古典概型中基本事件总数这一难点.
19. (本小题满分12分)如图,已知 与圆相切于点,半径 , 交于点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若圆的半径为3,,求的长度.
参考答案:
(Ⅰ)证明:连接,
∵,
∴.∵与圆相切于点,
∴.∴.
∵,
∴.∴.
又∵,∴.
∴. ………………………6分
(Ⅱ)解:假设与圆相交于点,延长交圆于点.
∵与圆相切于点,是圆割线,
∴.
∵,,∴.
∴.
∴由(Ⅰ)知.∴.
在中,
∴.………………12分
略
20. 我市某校某数学老师这学期分别用m,n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为60人,入学数学平均分和优秀率都相同,勤奋程度和自觉性都一样).现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩,并作出茎叶图如图所示.
(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高?
(Ⅱ)现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,用ξ表示抽到成绩为86分的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)学校规定:成绩不低于85分的为优秀,作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?”
下面临界值表仅供参考:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)
参考答案:
【考点】独立性检验的应用.
【专题】综合题;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)依据茎叶图,确定甲、乙班数学成绩集中的范围,即可得到结论;
(Ⅱ)由茎叶图知成绩为86分的同学有2人,其余不低于80分的同学为4人,ξ=0,1,2,求出概率,可得ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据成绩不低于85分的为优秀,可得2×2列联表,计算K2,从而与临界值比较,即可得到结论.
【解答】解:(Ⅰ)由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间,而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间,所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉
(Ⅱ)由茎叶图知成绩为86分的同学有2人,其余不低于80分的同学为4人,ξ=0,1,2
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==┉┉┉┉┉┉
则随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
数学期望Eξ=0×+1×+2×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉
(Ⅲ)2×2列联表为
甲班
乙班
合计
优秀
3
10
13
不优秀
17
10
27
合计
20
20
40
┉┉┉┉┉
K2=≈5.584>5.024
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.┉┉
【点评】本题考查概率的计算,考查独立性检验知识,考查学生的计算能力,属于中档题.
21. (本小题满分12分)已知数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且-a2,Sn,2an+1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记,求证:数列{bn}的前n项和Tn∈.
参考答案:
(1)∵2Sn=-a2+2an+1,∴当n≥2时,2Sn-1=-a2+2an2分
22. 已知复数,那么当a为何值时,z是实数?当a为何值时,z是虚数?当a为何值时,z是纯虚数?
参考答案:
略